exo d'algèbre / réduction d'endomorphisme

[invite02195890]

Bonjour à tous,

u endomorphisme de Rn[X] / u(P)=nXP-(X²-4)P'
il faut montrer que u est diagonalisable et donner les sous espaces propres.

J'ai donc pour cela dis u(P)=vP

cela revient à résoudre une équa diff et dire que les polynômes sont de la forme sur R : P(X)=C(X-2)^((2n-v)/4) x (X+2)^((2n+v)/4)

a partir de là je suis bloqué. la correction donne que P est un polynôme réel solution de degré inférieur ou égal à n ssi (2n-v)/4 et (2n+v)/4 sont des entiers compris entre 0 et n donc cela donne v+1 vecteurs propres distincts, mais je comprends pas parceque le degré de P est n et cela quelque soit v...
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[invite57a1e779]

je comprends pas parceque le degré de P est n et cela quelque soit v...

Où as-tu vu que le degré de P devrait être n ?
Tout ce que l'on sait, c'est que P appartient à R_n[X], donc est de degré inférieur ou égal à n.

[invite02195890]

je trouve que P doit etre de cette forme P(X)=C(X-2)^((2n-v)/4) x (X+2)^((2n+v)/4) ca fait un degré n ca

[invite57a1e779]

Et alors ? n ne serait-il pas inférieur ou égal à n ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02195890]

oui et donc c'est un polynome de degré n(si tu prèferes inférieur ou égal) quelque soit v donc ou est-ce qu'ils tirent leur condition ? :

ssi (2n-v)/4 et (2n+v)/4 sont des entiers compris entre 0 et n