Prouver qu'une famille est une base?

[invite2016c00b]

Bonjour : je sais que pour prouver qu'une famille est une base d'un EV il faut prouver que tout élément de cet EV possède une unique famille de coordonnées dans cette base. Cependant je me pose une question pour la rédaction :
Soit x (le vecteur), E l'espace vectoriel :
x € vect(e1,e2, ...) <=> il existe a1, a2 € K/ x=a1*e1+a2*e2 + ... <=> ..... <=> a1 = .... ; a2= ..... (des valeurs uniques) etc .
On a donc bien prouvé que la famille des e (i) était une base.
Mais dois je vraiment mettre le "il existe" ?
Car ça me semble bizzar de déterminer les coordonnées exactement ensuite.

Merci d'avance
-----

[Tiky]

Attention, si tu as , la famille est génératrice de F par définition mais il n'y a aucune raison que ce soit une famille libre dans F.

Par exemple tu as : mais la famille correspondante n'est évidemment pas libre dans .

[invite2016c00b]

Oui mais il n'y aura pas unicité des coordonnées de chaque vecteur de F dans cette famille, elle est libre et c'est donc une base.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Je crois que tu confonds deux niveaux dans l'écriture formelle des définitions algébriques.

1. La famille est génératrice :
2. La famille est libre: (des valeurs uniques).

La première contient un quantificateur "il existe" et se présente sous la forme : , mais ça ne va pas plus loin.

La seconde est un traitement algébrique de la propriété pour établir l'unicité de , et ne comporte pas de quantificateur.

En regroupant les deux, on énonce l'existence et l'unicité de (les coordonnées...), c'est-à-dire que l'on revient bien à la définition d'une base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2016c00b]

Je n'arrive pas à regrouper les deux dans ma rédaction pour montrer l'existence et l'unicité en même temps.