Application et sous-espaces vectoriels.

[invitea5ab8741]

Bonjour,

On considère l'application f: R^4 -> R^5.
(x) (x)
(y) -> (x+z)
(z) (z)
(t) (y+z)
(z+t)

On me demande de trouver un système d'équations cartésiennes de
(f^-1)(0).
(0)
(0)
(0)
(0)
Je ne sais pas comment faire (car je trouve x=y=z=t=0 mais ce n'est pas ça).
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je réécris les choses pour voir si c'est bien cela :



Dans ces conditions, un système d'équation paramétriques de est :



qui se résout bien en .

[invitea5ab8741]

Oui, c'est cela.
On me demande ensuite si c'est un sous-espace vectoriel.
Il n'y a que le vecteur nul, donc la réponse est oui.
Mais je ne comprends pas les questions d'après :
"Déterminer sa dimension : en déduire l'injectivité ou la non injectivité de f."

[invite57a1e779]

Tu dois avoir un théorème dans ton cours qui lie l'injectivité d'une application linéaire à la dimension de son noyau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea5ab8741]

Justement c'est un exercice qui "prépare le terrain" pour le cours des applications linéaires.
On a vu en cours que les espaces vectoriels, les bases , dimensions... mais pas encore les applications linéaires.

[invite57a1e779]

Tu dois prouver que l''équation f(x,y,z,t)=f(x',y',z,t') est équivalente à l'équation :
f(x-x',y-y',z-z',t-t'), ce qui facilite l'étude de l'injectivité.