exo sous espace vectoriel

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aurai besoin d'aide sur cette exercice
soit E un espace vectoriel sur R. Pour tout z=a+ib appartenant à C et pour tout (x,y) appartenant à ExE on pose: (a+ib)(x,y)=(ax-by,aybx). Montrer que ExE est un espace vectoriel sur C

pour résoudre l'exercice j'ai remarqué que:
(ax-by,ay+bx)=x(a,b)+y(-b,a)=Vect((a,b),(-b,a))

là je sais que j'ai un sev mais dans quoi appartient il?
est ce que je peux réécrire les couples (a,b) et (-b,a) sous la forme z=a+ib et z'=-b+ia. Dans ce cas j'ai prouver que le Vect est un sev de C



de plus j'aurais une question sur la définition du Vect
soit E un ev et A une partie de E
VectA c'est l'ensemble des combinaison linéaires des éléments éléments de A
donc si VectA=
l'élément x est dans quoi E ou A?
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[inviteaf1870ed]

pour résoudre l'exercice j'ai remarqué que:
(ax-by,ay+bx)=x(a,b)+y(-b,a)=Vect((a,b),(-b,a))

là je sais que j'ai un sev mais dans quoi appartient il?



de plus j'aurais une question sur la définition du Vect
soit E un ev et A une partie de E
VectA c'est l'ensemble des combinaison linéaires des éléments éléments de A
donc si VectA=
l'élément x est dans quoi E ou A?

Je pense que tu n'as pas bien compris la notion d'espace vectoriel sur un corps.
L'idée est que l'on a ensemble d'éléments que l'on appelle des Vecteurs, et que l'on peut les multiplier par un élément du corps (on les appelle des scalaires). Si E est un espace vectoriel, et si r est un réel et x un vecteur, rx est encore un vecteur.

Or là on te demande de montrer ExE est un espace vectoriel sur C. Je ne vois pas d'autres solutions que de repasser par l'ensemble des axiomes de la définition.

[invite371ae0af]

voici ce que j'ai fait

ExE inclus dans C car a+ib appartient à C
ExE non vide car 0_C appartient à ExE, en effet (0+i0) (x,y)=(0x-0y,0y+0x)= (0,0) et (0,0) appartient à ExE

montrons que quelque soit dans R et quelque soit (x,y) appartenant à ExE, appartient à ExE
soit dans R, (x,y) dans ExE et z=a+ib dans C

posons X= Y=
on a alors [TEX](\lambda .(x,y)) (a+ib)= (\lambda x,\lambda y) (a+ib)[\TEX]
donc appartient à ExE

montrons que quelque soit (x,y),(u,v) appartenant à ExE, (x,y)+(u,v) appartient à ExE?
soit (x,y),(u,v) appartenant à ExE, soit z appartenant à C
((x+y)+(u,v)) (a+ib)= (x+u,y+v) (a+ib)= (a(x+u)-b(y+v), a(y+v)+b(x+u))
posons X=x+u Y=y+v
donc (x+u,y+v) (a+ib)= (aX-bY,aY+bX)
donc (x,y)+(u,v) appartient à ExE

donc ExE est un sev de C

j'aurai aussi une question concernant mon z. Est ce que je doit le mettre dans la phrase montrons......?

merci

[invite371ae0af]

quand on a fait un exo sur les fonctions on a pas mis x dans la phrase montrons que ...?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Ici ExE n'est pas inclus dans C, mais un espace vectoriel sur C. Ce que tu écris n'a aucun sens !

[invite371ae0af]

donc tout est faux?

[inviteaf1870ed]

Oui j'en ai peur...
On te donne la formule pour la multiplication d'un vecteur x de ExE par un scalaire z de C. Il n'y a plus qu'à ...

[invite371ae0af]

tu pourrais me montrer comment on fait?