Espace vectoriel

[invitea8d86863]

Bonsoir,

j'ai un dm et je bute sur une question, alors que j'ai reussi tout le reste, voila alors je viens vous demander de l'aide et vous remercie d'avance.

Voici l'énoncé :

On considère l'espace vectoriel réel R^², et on appelle le vecteur i = ( 1, 0 ) et le vecteur j = ( 0, 1 ). On considere les vecteurs I = ( m-3 ) i + m j et J = ( m+1 ) i -j où m est un paramètre de R.

Etudier pour quelles valeurs de m la famille { I, J } forme une base de R^².

Je sais que pour que ça soit un base de R^², il faut que ce soit une famille de vecteur libre et génératrice mais je ne sais pas quel demarche entreprendre pour prouver cela.
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[invitebe0cd90e]

Salut,

puisque tu as deux vecteurs, il te suffit de montrer soit que la famille {I,J} est libre, soit qu'elle est generatrice. Pour montrer qu'elle est libre, tu peux par exemple calculer le determinant de la matrice dont les colonnes sont I et J.

[invitea8d86863]

Je n'ai pas encore étudié les matrices.

J'avais d'abord pensé à remplacé les vecteurs i et j par leur valeurs dans les expressions de I et J. Puis de la grace à un pivot de gauss, prouver que la famille est libre.

Qu'en penses-tu ?

[invitebe0cd90e]

En fait ca revient essentiellement au meme que ce que je t'ai proposé donc oui, ca marche !

Attention quand meme, il ne s'agit pas de prouver qu'elle est libre (a priori elle ne le sera pas toujours) mais de trouver les valeurs de m pour lesquelles elle est libre. Mais la procedure est la meme, il suffit de voir pour quelles valeurs de m ca ne va pas marcher !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8d86863]

Ok, merci bien. Je m'y replonge.

[invitea8d86863]

Je pense voir le bout de l'exo.

J'ai débouché sur un systeme qui ensuite me donne cette equation :

am^² + am - 3a + 1 = 0

Ma reponse correspond donc aux racines de cette équation.
Mais est-ce seulement possible à resoudre ?

[invitebe0cd90e]

Salut,

Il n'y a aucune raison qu'il reste des a à la fin, tu devrais avoir une équation qui dépend seulement de m.

[invitea8d86863]

Etourderie, effectivement je n'ai plus que des m.
Merci beaucoup pour ta précieuse aide.