exercice d'espace vectoriel

[invite371ae0af]

bonjour,

soit E_n= R_n [X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
montrer que E_n est un R sev de R[X]

voici ce que j'ai fait:
E_n= R_n [X]={ }={a1(1,0,...,0)+a2(0,1,...,0) +...+an(0,...,1),a1,...an dans R, (1,...,0),...,(0,...,1) dans Rn[X]}
donc En= Vect((1,0,...,0),...,(0,...,1) )

donc En est un sev de R[X]

j'aurai également une autre question:
1,...,0),...,(0,...,1) dans Rn[X] ou dans R[X] puisque dans ma solution je ne parle pas de R[X]

merci de vos réponses
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[Seirios]

voici ce que j'ai fait:
E_n= R_n [X]={ }={a1(1,0,...,0)+a2(0,1,...,0) +...+an(0,...,1),a1,...an dans R, (1,...,0),...,(0,...,1) dans Rn[X]}
donc En= Vect((1,0,...,0),...,(0,...,1) )

J'écrirais plutôt , mais c'est bien ça l'idée.

j'aurai également une autre question:
1,...,0),...,(0,...,1) dans Rn[X] ou dans R[X] puisque dans ma solution je ne parle pas de R[X]

Les deux, puisque .

[invite00970985]

Que veut dire (1,0,...0) ? Dans R_n[X] à la rigueur, on peut comprendre qu'il s'agit de "X", mais dans R[X], qui a une base infinie, ... c'est un peu flou.

Et je pense que l'exercice demande simplement de vérifier que si P,Q sont dans R_n[X], et a dans R, alors P+aQ est dans R_n[X]. Ce qui n'est pas très dur (le seul point non tout à fait trivial tourne autour du degré de P+aQ )