isomorphisme d'espace vectoriel

[invite32cb7616]

bonjour
je n'arrive pas a montrer que l'application:a une application lineaire on associe une matrice est un isomorphisme d'espace vectoriel.
pouvez vous m'aidez merci
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[invite986312212]

que n'arrives-tu pas à montrer? la linéarité? l'injectivité? tu as dû remarquer que la dimension des deux espaces vectoriels était la même (je suppose que tu es en dimension finie)

[invite32cb7616]

bonjour
on sait que c'est de meme dimension car c'est un isomorphisme non?
mais comment on montre la bijectivité de cette application?comment peut on le montrer a partir de l'image d'une base ?
merci

[US60]

Oui par un isomorphisme on transporte la structure d'EV une matrice m lignes et n colonnes n étant de dimension mn il en est de même de l'ensemble des applications linéaires associées à ces matrices ...
Tout application linéaire d'un EV E dans un EV F étant déterminée par l'image d'une base de E ....définit une unique matrice dont les colonnes sont les images de chaque élément de la base.... Réciproquement si je me donne une matrice , celle-ci définit une application linéaire unique en considérant les colonnes de cette matrice ...
Donc la bijectivité s'explique pat l'existence d'une application réciproque qui est un isomorphime aussi bien sûr ( par définition de celui-ci )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

au fait tu n'as pas précisé de quelle application il s'agissait. Mais étant données des bases il y a une application "canonique" je suppose que tu la connais (?): Les bases étant e et f l'application M associe à u la matrice M(u) dont les colonnes sont les coordonnées de u(e_i) dans la base (f_j).
Essaye de calculer le noyau de cette application.