isomorphisme d´espace vectoriel

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai un problème de définition d´un isomorphisme d´espace vectoriel dans mon cours.

Je me trouve dans deux espaces de Banach (enfin pas moi, ma fonction )
J´ai besoin de relire la définition d´un isomorphisme d´espace vectoriel: C´est une application linéaire et bijective. OK

Ensuite je lis dans mon cours de topo le théorème suivant:
Soient E et F deux espaces de Banach, f une application linéaire continue et bijective de E sur F. Alors f^-1 est continue, c´est-à-dire que f est un isomorphisme.

Cette dernière phrase suggère donc qu´un isomorphisme est une application linéaire bijective et continue dont la réciproque est aussi continue!?

Je vois deux explications possibles:
1- Je me suis planté sur ma définition d´un isomorphisme, bien qu´elle est aussi rappelée dans mon livre
2- Puisqu´il est question de continuité, donc que la norme est prise en compte, peut-être y a-t-il une définition spéciale de l´isomorphisme pour les espaces normés ou les espaces de Banach, ou d´une façon plus générale pour les espaces métriques?

merci d´avance

Christophe
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[invite9c9b9968]

Hello,

Tu es sûr que ce n'était pas "c'est à dire que f est un homéomorphisme" ?

[invitee75a2d43]

OK, ma question a peut-être été un peu précipitée.
Je viens de lire dans wikipédia que dans un espace topologique, un isomorphisme se confont avec un homéomorphisme. Il s´agirait donc pour ainsi dire d´un isomorphisme d´espace topologique? Assez confondant quand on se trouve dans un espace vectoriel normé, i.e. un espace qui est les deux: vectoriel et topo.

Me goure-je?

[invite57a1e779]

Un isomorphisme, c'est une application bijective qui, ainsi que sa bijection réciproque, est compatible avec la structure considérée sur les ensembles de départ et d'arrivée.

Si on considère la structure d'espace vectoriel en algèbre linéaire, un isomorphisme est une application f, linéaire bijective : la linéarité de la bijection réciproque provient de la linéarité de f.

Si on considère la structure d'espace topologique, un isomorphisme est une application bijective, continue, ainsi que sa réciproque ; on dit alors "homoméorphisme", et la continuité de la bijection réciproque ne découle pas automatiquement de la continuité de f.

Si on considère une structure d'espace vectoriel topologique, on superpose les structures précédentes, un isomorphisme est une application bijective, linéaire et continue, dont la bijection réciproque (nécessairement linéaire) est continue.

Dans ton cas, l'intérêt est que, pour les espaces de Banach, si f est bijective, linéaire et continue, alors la bijection réciproque est nécessairement continue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno0693]

Pour exercice, voici une tentative de démonstration que, si , avec E et F de Banach et f isomorphisme, alors est continue.

Vous me direz si c'est juste.

Soient donc , deux espaces de Banach.

On notera la distance issue de la norme et la distance issue de la norme .

Soit enfin , un isomorphisme. Montrons que est continue.

Soit et soit une suite d'éléments de F telle que .

On cherche à montrer que .

étant convergente, elle est en particulier de Cauchy. Ainsi, .

On peut aussi écrire : . Ou encore : .

Or, f étant continue, l'image réciproque de la boule ouverte par f est un ouvert de E contenant .

Il existe donc tel que : .

Ce qui s'écrit encore : , soit :

On a donc montré que (c'est ici que je ne suis pas sûr) : pour tout , on peut trouver un rang tel que, pour tout , on ait : .

Ainsi, la suite d'éléments de E est de Cauchy dans E complet, donc elle converge vers une limite unique qui vérifie :



Soit, comme f est continue :

.

Comme f est bijective, on en déduit que .

Finalement, ce qu'on cherchait à démontrer.

Voilà. Est-ce que c'est juste ?

Merci.

[invite770b3cad]

salut
je crois c'est juste ce que vous avez fait, bon si on se place dans un espace normé
f linéaire continue bijective n'implique pas que f^-1 continue n'est ce pas ??

[invitebd020be0]

Pourtant si f est un isomorphisme, cela ne veut-il pas dire que son inverse est continu ?

[invitea41c27c1]

Bruno, je crois que tu t'es trompé à la ligne

Il existe donc tel que : ...

Tu as inversé l'inclusion. La continuité nous dit .

Pour démontrer ce théorème il faut utiliser le théorème de l'application ouverte, qui lui-même utilise le théorème de Baire. Je vous renvoie à la page suivante

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...anach-Schauder

[invite770b3cad]

il me semble que ya une autre méthode pr démontrer ce résultat f dans
isom(E,F) avec E,F de Banach alors f^-1 continue.

d'une manière générale soit T : isom(E,F) -> l(E,F)={u/u lineaire et continue}
T(f) |-> f^-1

montrons que T est continue.
en effet
soit f' dans isom(E,F) montrons que T est continue en f'
(i.e) limite de T(f) quand f->f' est égale T(f')

T(f)-T(f')=f^-1 - f'^-1 = ((f^-1)of' - 1) of'^-1=[((f'^-1)of)^-1) - 1]of'^-1
\*((f'^-1)of )dans isom(E,E)*\ on pose (f'^-1)of = 1-v toujours possible n'est ce pas ??
((f'^-1)of)^-1=[1-v]^-1 = somme pour n>=0 de v^n avec ||v||<1 car
1-v inversible

T(f)-T(f')=[((1-v)^-1) - 1]of'^-1= [somme n>=1 de v^n ] o f'^-1

|| T(f)-T(f') || =|| [somme n>=1 de v^n ] o f'^-1 || <= (somme n>=1||v||^n) ||f'^-1||

|| T(f)-T(f') || <= [||v|| / (1-||v||)] || f'^-1||

qaund f->f', v->0

d'ou le résultat
est ce que c'est juste ??

[invitea41c27c1]

((f'^-1)of)^-1=[1-v]^-1 = somme pour n>=0 de v^n avec ||v||<1 car 1-v inversible

Cet argument est faux. C'est inversible. Mais ton truc marche, il suffit de prendre assez petit pour avoir .

Cependant la question initiale était de montrer que est continue, et non pas .

[invite770b3cad]

je crois on veut montrer que l'application réciproque f^-1 : F -> E est continue n'est ce pas??

\*((f'^-1)of )dans isom(E,E)*\ on pose (f'^-1)of = 1-v toujours possible n'est ce pas ??
((f'^-1)of)^-1=[1-v]^-1 = somme pour n>=0 de v^n avec ||v||<1 car
1-v inversible

oui vous avez raison || v || < 1 sa vient pas du faite que 1 - v inversible
mais est ce qu'on peut dire que
1 - v inversible ( 1 - v )^-1 = somme pour n>=0 de v^n non??

[invite770b3cad]

si 1-v inversible c'est quoi sont inverse?? je crois c'est somme ...

[invitea41c27c1]

mais est ce qu'on peut dire que
1 - v inversible ( 1 - v )^-1 = somme pour n>=0 de v^n non??

Non, exemple v=2 id, "somme pour n>=0 de v^n" ne converge pas.