Une propriété des espaces vectoriels

[Bleyblue]

Bonjour,

Je considère l'espace vectoriel de dimension sur le corps à éléments : .

Soit un vecteur de .

Il semblerait que le nombre de sous-espaces de de dimension (avec ) contenant <v> est égal au nombre de sous-espaces de dimension dans

avec <v> l'espace vectoriel engendré par v et l'espace vectoriel quotient.

Voyez-vous une démonstration évidente de ce fait ? Il paraît que cela se démontre au moyen du troisième théorème d'isomorphisme (pour les groupes, en l'occurence ici les groupes additifs), mais je ne vois pas du tout comment ...

merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il me semble que la surjection canonique de sur induit tout simplement une bijection entre l'ensemble des sous-espaces vectoriels de qui contiennent et l'ensemble des sous-espaces vectoriels de , et que l'on perd une dimension au passage.

[invitebe0cd90e]

Salut,

Ca n'est pas très habituel de manipuler des espaces vectoriels quotients puisque la situation est assez rigide en ce qui les concerne. En utilisant le théorème de la base incomplète, c'est facile de voir que et par le même genre de raisonnement que tout espace vectoriel contenant <v> est de la forme où E est un sous espace de . Le resultat que tu cherches est immédiat une fois que tu as remarqué ça.

Ceci dit, tu peux le voir au niveau des morphismes : par définition, <v> est le noyau de la projection . DOnc il suffit de regarder la restriction de cette projection à un sous espace de dimension d. S'il ne contient pas <v>, cette restriction est injective, donc l'image est encore de dimension d. S'il contient <v> (cad le noyau), le thm du rang te dit que l'image est de dimension d-1. C'est facile de voir que ca induis bien la bijection que tu cherches.

[Bleyblue]

ah d'accord !

C'est clair, merci beaucoup à vous deux

[A voir en vidéo sur Futura]