Matrice et base canonique

[inviteb0ca76e7]

Enoncé:Soit l'application f:R^4->R^3 qui au quadruplet (x,y,z,t) faire correspondre le triplet (x+y-z,-z+y-3z,x+z+t)

Question 1: Montrer que f est une application linéaire
Question 2:Quelle est la matrice de f dans la base canonique?

J'ai rédigé la question 1.
La question 2 me pose quelques problèmes.J'ai commencé comme ceci:
Soit (e1,e2,e3,e4) la base canonique tel que e1=(1 0 e2=(0 1
______________________________ ___________0 0)____0 0)
et de même pour e3 et e4.

Suis-je bien parti? Comment peut-on continuer ensuite?
Merci de votre aide.
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[invite332de63a]

Bonjour.

Attention, pour déterminer une matrice de l'application f de R4 dans R3 tu prend l'image des vecteurs de base de R4, tu les places en colonnes (exprimés dans la base de R3)

propose nous ton résultat.

RoBeRTo

[inviteb0ca76e7]

hum...Est-ce quelque chose comme:

f(e1)= (1,-1,1)
f(e2)= (1,1,0)
f(e3)= (-1,-3,1)
f(e4)= (0,0,1)

Et donc si on les met en colonne,on aurait une matrice 4*3 dont la première ligne serait 1,1,-1,0 ?

[invite332de63a]

Voilà exactement et si on Note A cette matrice alors f de x peut s'écrire:

f(x)=A.X avec X le vecteur colonne correspondant à X dans la base de R^4 choisie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb0ca76e7]

Merci beaucoup.
Voici la suite de l'exercice.

Question 3: f peut-elle être injective?surjective?

Question 4: Donner une base de l'image et une base du noyau de f

Question 5: f est-elle injective?surjective?


Apparemment,pour la question 3,il ne faut rien démontrer mais juste en déduire de ce qu'on a fait précédemment,mais je ne vois pas comment.

Pour la question 4,faut-il résoudre le système à 3 équations:
x+y-z=0
-x+y-3z=0
x+z+t=0

Il me semble(sans être certain) qu'on trouve x=y=z=t=0.Le noyau serait donc réduit à l'élément neutre.Comment trouve-t-on la base du noyau et de l'image alors?

Pour la question 5,f est injective ssi ker(f)=0.On fait donc le pivot de gauss sur la matrice qu'on a trouvé dans la question 2 et on a donc un vecteur nul.Le rang est donc de 3.Cela suffirait-il a démontré que ker(f)=0 ?



En fait,je n'ai pas vraiment compris les notions de base,d'images,de noyau,donc les réponses données sont surement à coté de la plaque.
Si vous pouviez m'expliquer,je vous serait très reconnaissant.

[inviteb0ca76e7]

Pouvez-vous m'aider svp?