Théorie du tout (version math)

[invite84eba484]

Bonsoir,

Je ne suis pas un "matheux" mais je me demandais si les mathématiciens cherchaient eux aussi une théorie du tout pour les math ?
Car en physique, c'est clairement le saint Graal, et même si je ne veut pas discuter de la définition de la théorie du tout (version physique cette fois-ci), je retiens quand meme l'idée générale d'unifier toutes les théories sous un seul et meme formalisme !

En math je sais qu'il existe des liens entre les différentes branches (Géo-algébre, algébre-analyse, etc...) mais existe il un formalisme générale qui permettrais de réunir les (nombreux) domaine des math ?
Des recherche se font elles sur cette idée ? Ou est ce que ça bloque généralement ?

Voila bon nombre de questions
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[albanxiii]

Bonjour,
Ca n'est certainement pas une théorie "du tout", mais cela peut vous intéresser : http://fr.wikipedia.org/wiki/Programme_de_Langlands
D'autant plus que Ngo Bao Chao (d'origine vietnamienne, naturalisé français) a reçu la médaille Fields cet été pour sa démonstration du Lemme Fondamental.

[invitebe0cd90e]

Salut,

De toute evidence la notion de théorie du tout en maths n'a pas vraiment de sens, en tous cas pas le meme qu'en physique.

D'un autre côté, on peut considérer que la vocation même de la recherche en mathématique c'est de passer du particulier au général. Donc le travail du mathématicien c'est justement d'unifier des résultats. Si on parle vraiment d'unifier des théories entières, je pense qu'il y a deux axes qui se retrouvent dans certains résultats spectaculaires:
- trouver des liens, ou mieux une équivalence entre deux domaines apparemment éloignées. Les maths modernes sont friandes de ce genre de chose. Dans ce contexte on ne construit pas vraiment une théorie "au dessus" de deux autres, mais on établit plutot un dictionnaire qui montre que les deux théories sont deux facettes d'une même chose. Le programme de Langlands cité par albanxiii rentre dans ce cadre, par exemple, ou les liens entre courbes elliptiques et formes modulaires qui ont conduit à la démo du théorème de Fernat-Wiles.
- abstraire des conditions, des axiomes de résultats connus pour gagner un niveau d'abstraction. Dans ce cas on developpe vraiment une théorie plus forte qui englobe les théories existantes. C'est ce qu'on a fait en introduisant des structures algébriques (groupes, anneaux, etc..). Aujourd'hui ce genre de choses passe souvent par le langage de la théorie des catégories: on définit de façon axiomatique un "type" de catégorie modelé sur des exemples qu'on connait, qui deviennt du coup des cas particuliers d'un formalisme général. On peut penser par exemple à Grothendieck qui était maitre dans ce genre de choses.

[invite39876]

Salut,

De toute evidence la notion de théorie du tout en maths n'a pas vraiment de sens, en tous cas pas le meme qu'en physique.

D'un autre côté, on peut considérer que la vocation même de la recherche en mathématique c'est de passer du particulier au général. Donc le travail du mathématicien c'est justement d'unifier des résultats. Si on parle vraiment d'unifier des théories entières, je pense qu'il y a deux axes qui se retrouvent dans certains résultats spectaculaires:
- trouver des liens, ou mieux une équivalence entre deux domaines apparemment éloignées. Les maths modernes sont friandes de ce genre de chose. Dans ce contexte on ne construit pas vraiment une théorie "au dessus" de deux autres, mais on établit plutot un dictionnaire qui montre que les deux théories sont deux facettes d'une même chose. Le programme de Langlands cité par albanxiii rentre dans ce cadre, par exemple, ou les liens entre courbes elliptiques et formes modulaires qui ont conduit à la démo du théorème de Fernat-Wiles.
- abstraire des conditions, des axiomes de résultats connus pour gagner un niveau d'abstraction. Dans ce cas on developpe vraiment une théorie plus forte qui englobe les théories existantes. C'est ce qu'on a fait en introduisant des structures algébriques (groupes, anneaux, etc..). Aujourd'hui ce genre de choses passe souvent par le langage de la théorie des catégories: on définit de façon axiomatique un "type" de catégorie modelé sur des exemples qu'on connait, qui deviennt du coup des cas particuliers d'un formalisme général. On peut penser par exemple à Grothendieck qui était maitre dans ce genre de choses.

Est ce que vous pourriez svp, donner des exemples du 'deuxieme tiret' si possible!
Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]