Diagonalisation des matrices orthogonales

[invite74d6d3ec]

Salut,

Soit :

J'ai montré que est diagonalisable des si et seulement si elle est la matrice d'une symétrie orthogonale.

Mais je n'arrive pas à montrer que est toujours diagonalisable dans .

Des idées ?

Merci
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[invite57a1e779]

On munit du produit scalaire canonique, et l'endomorphisme de matrice dans la base canonique.
Soit la somme directe des espaces propres de ; il suffit de remarquer que l'orthogonal de est stable par .

[invite74d6d3ec]

Re,

Je ne sais pas si j'ai bien saisi votre idée, je suppose que vous voulez montrer que l'orthogonal de est réduit à zéro. Bon je me lance:

donc on peut poser

étant stable par donc est stable par

étant orthogonal vérifie

Mais je ne vois toujours pas comment conclure.

Merci de vos réponses.

[invite57a1e779]

donc un sous-espace stable par est stable par .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite74d6d3ec]

Merci beaucoup.