Espace tangent

[invite39876]

Bonjour, j'aurai quelques questions sur la defintion d'un espace tangent a un groupe de Lie compact G.
Dans mes divers cours on me donne plusieurs définition, en fait essentiellement 4.
1) L'algèbre des derivations en x_0
2) Les classes d'quivalences de courbes de classes Cinfini, valant x_0 en 0 et egale a l'ordre 1.
3)Pour une sous variété, c'est l'image reciproque par la differentielle de l'espace d'arrivée.
4) (alors celle la! elle est soit disant pour notre culture) ON dit que en un point x_0, l'ensemble des fonctions qui s'annulent en x_0 est un idéal maximal de l'anneau des fonctions en ce point, on le note M, et l'espace tangent est le dual de M/M²

Comment faire le lien entre ces definitions (pour une pauvre physicienne comme moi ^^) et surtout, c'est laquelle la mieux?
Julia.
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[invite39876]

Personne pour un coup de pouce?

[invite57a1e779]

Chacune de ces définitions a ses avantages et ces inconvénients.

La 2 est la plus intuitive : un vecteur tangent à la variété, c'est un vecteur tangent à une courbe tracée sur la variété ; comme plusieurs courbes peuvent avoir même vecteur tangent, on prend une classe d'équivalence de courbes égales à l'ordre 1.

La 1 : un vecteur tangent, c'est un vecteur dans la direction duquel on peut dériver ; on définit alors un vecteur tangent u comme étant l'opérateur de dérivation dans la direction de lui-même.

La 3 : ne s'intéresse qu'aux sous-variétés ; il faut donc avoir au départ un espace tangent sur la variété...

La 4 : c'est un la 2 en présentation plus théorique via la 1. M est l'ensemble des fonctions qui s'annulent en x_0 ; un élément de M/M² est une classe d'équivalence de telles fonctions, et c'est en fait la classe d'équivalences des fonctions qui sont égales à l'ordre 1, parce que M² c'est les fonctions qui sont nulles à l'ordre 1. Un vecteur tangent, c'est un opérateur de dérivation, qui prend même valeur pour toutes les fonctions d'une même classe : étant égales à l'ordre 1, elles ont même dérivée ans une direction donnée ; autrement dit, un vecteur tangent, c'est un élément du dual.

[invite39876]

Merci, je vais potasser tout ca!

[A voir en vidéo sur Futura]