dériveé et différentielle

[invite963a4449]

bonjour
j'ai un probléme de distinguer entre la dérivée et différentielle que je sais que la différentielle est une matrice jacobienne et sur un intervalle par contre la dérivéée sur un point .ou l'issue s'agit du différence de notation par exemple a notation de Lagrange : f'(a)
la notation de Leibniz : df/dx(a)
merci d'avance
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[Tiky]

Dérivée et différentielle sont toujours calculées en un point. La différence fondamentale est que la dérivée en un point est un nombre, la différentielle est une application linéaire.

Je te rappelle que si tu as une application d'une variable réelle dans , elle est dérivable en si et seulement si elle admet une développement limité d'ordre en 1 en :


La différentielle permet de généraliser cette idée. Si tu as une application d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel . On dit que est différentiable en s'il existe une application linéaire continue de dans telle que :
.
Remarque que u dépend de et que si l'espace vectoriel n'est pas de dimension finie, la différentiabilité dépend de la norme choisie. La différentielle en est . On la note souvent .

Note qu'on appelle parfois différentielle, l'application qui à associe la différentielle en ce point.
.

Si tu travailles dans un espace vectoriel de dimension finie, la matrice jacobienne n'est rien d'autre que la matrice de la différentielle dans la base canonique.

[inviteea028771]

Attention, la différentielle n'est pas une matrice, mais une application linéaire (subtile différence). Et quand la dimension de l'espace est finie, on appelle la matrice de cette application linéaire la jacobienne

La différentielle en un point est une application linéaire (donc une fonction)
La dérivé en un point est un scalaire

Ce ne sont pas le même type d'objet.

Ainsi en dimension 1, la dérivée serra f'(a) et la différentielle de f en a l'application d_af(x) = f'(a).x

Edit : grilled