Bonjour à tous,
J'aimerais savoir si en considérant un corps valué non discret K, l'ensembleest dense dans
C'est effectivement le cas lorsque la valuation est ultramétrique, à cause de sa forme particulière et de la caractérisation des sous-groupes additifs de
Quelqu'un aurait-il des informations sur le sujet ?
Merci d'avance,
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut !
euh non, c'est le contraire :
si le corps est ultramétrique la valuation n'est pas forcement d'image dense : la valuation de Qp par exemple a pour image P^Z qui est discret dans R+*
en revanche si la valuation est archimedienne, elle est de la forme |.|^s sur Q, et donc son image est dense dans R.
Donc si je développe : si on considère un corps K muni d'une valuation archimédienne |.|, nécessairement il existe un sous-corps K' isomorphe à Q (notons f un tel isomorphisme) ; on peut alors définir une norme sur Q définie par N(q)=|f(q)|, donc N est équivalente à la valeur absolue usuelle (théorème d'Ostrowski), donc de la forme |.|^s, et ainsi l'image de K par |.| contient Q, d'où la densité.en revanche si la valuation est archimedienne, elle est de la forme |.|^s sur Q, et donc son image est dense dans R.
J'ai bon ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pour être un peu plus précis je dirais qu'une valuation est ultramétrique si et seulement si l'image de Z dans le corps est borné, donc si cette image est fini (ie que le corps est de caractéristique p>0) il est automatiquement ultramétrique... donc si la valuation est archimédienne l corps est automatiquement de caractéristique nul, et donc l'inclusion de Z dans K s'entend en une inclusion de Q dans K (pas la peine de s'emcombrer avec un isomorphisme : celui ci est complément canonique et ca ne coute rien de considérer que K contiens effectivement Z et Q ), la valuation restreinte à Q est donc une valuation équivalente à la valuation archimédienne classique (si elle était équivalente à une autre valuation, alors Z serait borné et le corps serait ultramétrique) et donc l'image de la valuation contiens Q^s pour un certain s (entre 0 et 1 strictement si ja dis pas de connerie, mais j'ai pas réfléchi avant de parler)
