Densité de l'image d'un corps par sa valuation
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Densité de l'image d'un corps par sa valuation



  1. #1
    Seirios

    Densité de l'image d'un corps par sa valuation


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aimerais savoir si en considérant un corps valué non discret K, l'ensemble est dense dans .

    C'est effectivement le cas lorsque la valuation est ultramétrique, à cause de sa forme particulière et de la caractérisation des sous-groupes additifs de , mais est-ce toujours le cas lorsque la valuation est quelconque ?

    Quelqu'un aurait-il des informations sur le sujet ?

    Merci d'avance,
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    invite4ef352d8

    Re : Densité de l'image d'un corps par sa valuation

    Salut !


    euh non, c'est le contraire :

    si le corps est ultramétrique la valuation n'est pas forcement d'image dense : la valuation de Qp par exemple a pour image P^Z qui est discret dans R+*

    en revanche si la valuation est archimedienne, elle est de la forme |.|^s sur Q, et donc son image est dense dans R.

  3. #3
    Seirios

    Re : Densité de l'image d'un corps par sa valuation

    en revanche si la valuation est archimedienne, elle est de la forme |.|^s sur Q, et donc son image est dense dans R.
    Donc si je développe : si on considère un corps K muni d'une valuation archimédienne |.|, nécessairement il existe un sous-corps K' isomorphe à Q (notons f un tel isomorphisme) ; on peut alors définir une norme sur Q définie par N(q)=|f(q)|, donc N est équivalente à la valeur absolue usuelle (théorème d'Ostrowski), donc de la forme |.|^s, et ainsi l'image de K par |.| contient Q, d'où la densité.

    J'ai bon ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    invite4ef352d8

    Re : Densité de l'image d'un corps par sa valuation

    Pour être un peu plus précis je dirais qu'une valuation est ultramétrique si et seulement si l'image de Z dans le corps est borné, donc si cette image est fini (ie que le corps est de caractéristique p>0) il est automatiquement ultramétrique... donc si la valuation est archimédienne l corps est automatiquement de caractéristique nul, et donc l'inclusion de Z dans K s'entend en une inclusion de Q dans K (pas la peine de s'emcombrer avec un isomorphisme : celui ci est complément canonique et ca ne coute rien de considérer que K contiens effectivement Z et Q ), la valuation restreinte à Q est donc une valuation équivalente à la valuation archimédienne classique (si elle était équivalente à une autre valuation, alors Z serait borné et le corps serait ultramétrique) et donc l'image de la valuation contiens Q^s pour un certain s (entre 0 et 1 strictement si ja dis pas de connerie, mais j'ai pas réfléchi avant de parler)

  5. A voir en vidéo sur Futura

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