fonction holomorphe

invitebdec96e1 · 22/02/2011, 12h15

Bonjour,

J'ai un problème avec l'énoncé d'un exercice

On note $\text{[math]}$ le disque unité ouvert et $\text{[math]}$ le chemin parcourant le cercle unité une fois dans le sens direct.

On donne une fonction $\text{[math]}$ continue de $\text{[math]}$ et holomorphe de $\text{[math]}$ . On suppose que f n'a pas de point fixe.

Je dois monter que l'intégrale $\text{[math]}$ est bien définie pour tout $\text{[math]}$ .

Mon problème c'est le terme $\text{[math]}$ puisque dans l'intégrale on a $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'est pas supposée être holomorphe pour ces valeurs de $\text{[math]}$ .

Qu'est ce qui m'échappe?

Merci

**Arkhnor** · 22/02/2011, 21h28

Bonsoir.

On n'a pas besoin de l'holomorphie pour intégrer une fonction le long d'une courbe, seulement de la continuité. L'holomorphie intervient pour prouver certains résultats comme la formule des résidus par exemple ...

invite57a1e779 · 22/02/2011, 21h37

Envoyé par Arkhnor

On n'a pas besoin de l'holomorphie pour intégrer une fonction le long d'une courbe, seulement de la continuité.

C'est certain... mais lorsque l'intégrale contient la dérivée f', il faut bien que cette dérivée existe sur le chemin d'intégration, et pour ce faire, la continuité ne suffit pas.

**Arkhnor** · 22/02/2011, 21h51

Euh oui, j'ai lu trop rapidement l'énoncé. Au temps pour moi.

En le relisant attentivement, il y a une chose que je comprends pas, c'est l'hypothèse sur l'absence de points fixes : d'après Brouwer, il y a toujours un point fixe sur $\text{[math]}$ .
Doit-on comprendre que les points fixes appartiennent au cercle unité ? (ce qui empêcherai l'intégrale d'être définie pour $\text{[math]}$ )

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invite57a1e779 · 22/02/2011, 22h01

Envoyé par Arkhnor

d'après Brouwer, il y a toujours un point fixe sur $\text{[math]}$ .

En fait, je me suis demandé si le but de l'exercice ne serait pas de fournir, dans le cas holomorphe, une démonstration par l'absurde de Brouwer.
Mais même en essayant d'imaginer une coquille, je ne vois pas comment donner un sens à l'intégrale.

invitebdec96e1 · 23/02/2011, 18h03

C'est effectivement pour démontrer par l'absurde que $\text{[math]}$ admet un point fixe dans $\text{[math]}$ si cela peut vous aidez.
Donc pas de problème au dénominateur mais ce $\text{[math]}$ me bloque toujours...

**acx01b** · 24/02/2011, 10h53

bonjour

je ne comprends pas :
on suppose que $\text{[math]}$ n'a pas de point fixe sur $\text{[math]}$ ?
et dans ce cas la fonction constante $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ posera problème pour certains $\text{[math]}$

ou bien que $\text{[math]}$ n'a pas de point fixe sur $\text{[math]}$ ?

**acx01b** · 24/02/2011, 11h03

et il y a un autre truc qui me turlupine :

ça existe une fonction holomorphe sur $\text{[math]}$ mais qui ne l'est pas sur $\text{[math]}$ et qui ne soit pas une fonction que l'on a artificiellement rendu non holomorphe sur le cercle c'est à dire de la forme :

$\text{[math]}$

parce que si la réponse est non alors autant considérer le prolongement analytique de $\text{[math]}$ qui est holomorphe sur $\text{[math]}$ (car n'ayant pas de singularité ou de point de branchement sur $\text{[math]}$ )

invitebdec96e1 · 24/02/2011, 17h42

L'énoncer ne donne pas plus de détails désolé.

On veut montrer que $\text{[math]}$ a nécessairement un point fixe dans $\text{[math]}$ et pour cela on raisonne par l'absurde en supposant qu'elle n'en a pas. On cherche alors une contradiction en s'aidant de l'intégrale.

Pour l'histoire du prolongement je ne saisis pas bien : pourquoi l'énoncé demanderai que $\text{[math]}$ soit continue sur $\text{[math]}$ et holomorphe que sur $\text{[math]}$ si l'on peut faire un tel prolongement?

invite5420aad7 · 24/02/2011, 17h49

Ne te bases pas sur la propriété holomorphe

invite57a1e779 · 24/02/2011, 19h48

Envoyé par acx01b

ça existe une fonction holomorphe sur $\text{[math]}$ mais qui ne l'est pas sur $\text{[math]}$ et qui ne soit pas une fonction que l'on a artificiellement rendu non holomorphe sur le cercle

Il me semble que $\text{[math]}$ est continue $\text{[math]}$ , mais holomorphe sur $\text{[math]}$ seulement.

**acx01b** · 24/02/2011, 23h52

Envoyé par God's Breath

Il me semble que $\text{[math]}$ est continue $\text{[math]}$ , mais holomorphe sur $\text{[math]}$ seulement.

sur $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ qui a clairement une singularité en $\text{[math]}$

merci je suis convaincu.

( j'ai l'impression que si on prend $\text{[math]}$ ça marche aussi comme contre exemple)

invite57a1e779 · 25/02/2011, 08h18

Il me semblait que pour les séries lacunaires, comme celle que j'ai proposé, tous les points du cercle sont singuliers.

fonction holomorphe