Application, intégrale.

[invitea5ab8741]

Bonjour,

Je voudrais savoir si l'application:



est injective et surjective.



Si l'application est surjective, cela signifie que toute fonction est intégrable sur tout intervalle de la forme [0;x]; et je ne sais pas si cette affirmation est vraie, et comment le prouver si c'est le cas.
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[invitea5ab8741]

Pour l'injectivité, on prend deux intégrales de deux fonctions f et g,
On aboutit à : F(x)-G(x)=F(0)-G(0), mais ensuite que faire ?

[Tiky]

Elle n'est pas non plus surjective. En effet, il existe des applications numériques continues qui ne sont pas dérivables en certains points. Or il est clair que est une fonction non seulement continue mais aussi dérivable sur .

[Tiky]

Elle est bien injective, il suffit d'utiliser le fait que les applications obtenues sont dérivables.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea5ab8741]

OK pour l'injectivité.
Mais dans ton premier post, tu dis que l'intégrale de f(t)dt est continue et dérivable.
Donc toute intégrale de f(t)dt a un antécédent.
Donc l'application est surjective, non ?

[Tiky]

OK pour l'injectivité.
Mais dans ton premier post, tu dis que l'intégrale de f(t)dt est continue et dérivable.
Donc toute intégrale de f(t)dt a un antécédent.
Donc l'application est surjective, non ?

Non absolument. Tu mélanges antécédent et image. Reviens à la définition de la surjectivité. Si était surjective, on aurait :
tel que

Or est une fonction dérivable sur et tu sais que certaines fonctions continues ne sont pas dérivables sur . Par exemple la fonction valeur absolue n'a pas d'antécédent par .