Calcul de probabilités

[Seirios]

Bonsoir à tous,

J'aimerais savoir si ma solution pour un exercice de probabilités est correcte : on considère N+1 urnes, numérotées de 0 à N ; dans la k-ième urne, il y a k boules blanches et N-k boules rouges ; on choisit au hasard une de ces urnes, puis on effectue n+1 tirages avec remise. On cherche à connaître la probabilité que la (n+1)-ième boule tirée soit blanche, sachant que l'on a déjà tiré n boules blanches.

Pour être clair, je note les événements :
A="la (n+1)-ième boule est blanche"
B="les n premiers boules sont blanches"
C_k="on choisit l'urne k"
D="les n+1 boules sont blanches"

On cherche donc à calculer P_N=P(A|B). D'abord, on a .

Ensuite, ; or les n+1 premiers termes sont nuls, puisqu'il n'y a pas assez de boules blanches dans les n+1 urnes, et , donc . Le tirage avec remise est classiquement modélisé par la loi binomiale, donc . Finalement, .

De la même manière, on obtient .

Donc finalement, on a .

On se pose ensuite la question de la limite pour . On peut réécrire l'expression ci-dessus : .

Or .

Après, j'utilise la formule de Faulhaber qui implique que (j'aimerais bien pouvoir ne pas utiliser cette formule, donc si quelqu'un avait une bonne idée pour calculer autrement cette limite, je suis preneur).

Ainsi, , et on trouve finalement que .

Ce résultat me paraît assez raisonnable, mais si quelqu'un pouvait vérifier si je n'ai pas fait d'erreur en cours de route...Et puis j'aimerais assez trouver une alternative à la formule de Faulhaber.

Merci d'avance,
Phys2
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[Tiky]

Je suis d'accord sur ton raisonnement pour l'établissement de la formule de et sur tes équivalents mais je ne vois pas comment tu as utilisé cet équivalent pour déterminer ta limite ensuite.

[Seirios]

Et bien comme , donc ; tu n'aurais pas mélanger n et N un moment ?

Sinon, l'utilisation de la formule de Faulhaber n'est absolument pas nécessaire, une simple comparaison série-intégrale suffit : , ce qui mène directement à l'équivalent.

[Tiky]

J'allais y venir à la série-intégrale mais je voulais m'assurer de la fin du calcul avant. Je ne me suis pas mélangé dans N et n (bien que ce soit très tentant), ton calcul est juste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

D'accord, merci

[Seirios]

En fait, je pense avoir fait tout de même une erreur : on doit avoir ; comme je l'ai écrit dans ma solution, je calculais plutôt la probabilité d'avoir n boules blanches après n+1 essais, alors que l'on cherche à calculer la probabilité d'avoir les n premières boules blanches, c'est-à-dire n succès parmi les n premiers essais.

Au final, on doit obtenir , ce qui est assez surprenant en fait (on se serait plutôt attendu à trouver 1).

[invitea07f6506]

Il y a une autre erreur, au début : étant donné que le tirage se fait avec remise, il suffit d'avoir une seule boule blanche dans l'urne pour pouvoir tirer boules blanches d'affilée. Le "les n+1 premiers termes sont nuls, puisqu'il n'y a pas assez de boules blanches" est donc faux.
De plus, juste après, pas besoin de passer par des lois binomiales (même si ça marche) : on veut la probabilité que évènements indépendants (la première boule est blanche, la seconde boule est blanche, etc.) surviennent, donc on obtient le produit des probabilités. Ce n'est pas que du chipotage. On calcule :



Maintenant, de façon totalement évidente, on a :



Forcément, si on regarde les mauvais évènements en se laissant aveugler par le côté calculatoire (les lois binomiales), on a plus de chances de se planter. Enfin, je suis méchant ; le problème était bien posé au départ, mais il y a quand même quelques gaffes.

Après, le calcul de la limite pour grand n'a rien de compliqué.

[Seirios]

Il y a une autre erreur, au début : étant donné que le tirage se fait avec remise, il suffit d'avoir une seule boule blanche dans l'urne pour pouvoir tirer n boules blanches d'affilée. Le "les n+1 premiers termes sont nuls, puisqu'il n'y a pas assez de boules blanches" est donc faux.

Effectivement, je ne sais pas pourquoi j'ai écrit ça

Merci