Dimension de l'espace des applications linéaires continues

**Seirios** · 25/02/2011, 20h49

Bonsoir à tous,

Tout est dans le titre, j'aimerais savoir si on connaît précisément la dimension de l'espace des applications linéaires continues (mis à part en dimension finie, évidemment) entre deux espaces vectoriels.

Ou peut-être dans des cas particuliers, comme le dual topologique par exemple ?

Merci d'avance,
Phys2

**invited749d0b6** · 26/02/2011, 23h26

Bonsoir,

Je ne sais pas si il y a un moyen de calculer la dimension du dual topologique d'un espace vectoriel topologique $\text{[math]}$ sur un corps $\text{[math]}$ . Mais il me semble qu'elle ne dépend pas seulement du cardinal du corps $\text{[math]}$ et de la dimension de $\text{[math]}$ . En effet, prenons $\text{[math]}$ , espace vectoriel topologique sur le corps $\text{[math]}$ , muni de la topologie produit, l'espace des formes linéaires est isomorphe (sauf erreur) au éléments de $\text{[math]}$ dont presque toutes les composantes sont nulles (sauf un nombre fini). Donc le dual est de cardinal dénombrable.
En revanche, si on munit le même $\text{[math]}$ de la norme $\text{[math]}$ , le dual est $\text{[math]}$ muni de la norme $\text{[math]}$ , donc le dual est de cardinal la puissance du continu $\text{[math]}$ .
A vérifier...

**Seirios** · 26/02/2011, 23h48

Mais la norme 1 ne définit pas une norme sur $\text{[math]}$ , si ?

Sinon, le théorème d'Erdös-Kaplansky (ici) n'établit justement pas que la dimension du dual dépend uniquement du cardinal du corps de base et de la dimension de l'espace ?

(Sinon, je ne l'ai pas précisé, mais ma question peut être restreinte aux espaces vectoriels normées.)

**invited749d0b6** · 26/02/2011, 23h53

Envoyé par Phys2

Mais la norme 1 ne définit pas une norme sur $\text{[math]}$ , si ?

La norme 1 sur $\text{[math]}$ n'est pas à valeur dans $\text{[math]}$ , mais elle définit une topologie sur $\text{[math]}$ qui en fait un espace vectoriel topologique.
Ah oui, tu as raison, il y a un problème...

Dans le théorème d'Erdös-Kaplansky, il s'agit du dual algébrique, il me semble, pas du dual topologique.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invited749d0b6** · 01/03/2011, 12h00

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$ , l'ensemble des fonctions de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ qui valent $\text{[math]}$ partout sauf en un nombre fini de points de $\text{[math]}$ . C'est un espace de dimension $\text{[math]}$ que l'on munit de la norme $\text{[math]}$ . Il n'est pas complet. Son dual est l'ensemble des fonctions bornées de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ donc de cardinal $\text{[math]}$ .

Soit l'ensemble $\text{[math]}$ des suites $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ telles que la série $\text{[math]}$ converge absolument. On le munit de la norme $\text{[math]}$ . Son dual est $\text{[math]}$ l'ensemble des suites bornées, donc son dual est de cardinal $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ est de dimension $\text{[math]}$ .

**invited749d0b6** · 01/03/2011, 12h08

Comme les deux duaux n'ont pas même cardinal et sont des espaces vectoriels sur un même corps, ils n'ont pas même dimension. Alors que les espaces vectoriels de départ ont même dimension.

**Seirios** · 01/03/2011, 18h28

Merci pour ces exemples, très intéressant

**invited749d0b6** · 01/03/2011, 18h42

Cela dit, je me suis trompé: $\text{[math]}$ n'est pas de dimension $\text{[math]}$ .

Donc le problème reste entier...

**invited749d0b6** · 01/03/2011, 18h47

Cela dit, je me suis trompé: $\text{[math]}$ n'est pas de dimension $\text{[math]}$ .

Donc le problème reste entier...

**invited749d0b6** · 01/03/2011, 19h04

En fait, je ne sais pas quelle est la dimension de $\text{[math]}$ . C'est peut-être quand même $\text{[math]}$ .

As-tu une idée ?

**Seirios** · 01/03/2011, 19h53

Oui, $\text{[math]}$ est bien de dimension $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ est évidemment de dimension infinie, et il est complet, donc nécessairement $\text{[math]}$ , puis il est de cardinal $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . Au final, $\text{[math]}$ .

**invited749d0b6** · 01/03/2011, 20h54

D'accord, merci !

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