Kev, endomorphisme et dimension

[invite849a2c25]

Bonjour tout le monde,
j'ai un DM de maths sur les espaces vectoriels en dimension finie :

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2, E est un ev de dimension n sur R
La partie A est composé de plusieurs exemple puis du cas général :
le but de la partie est de démontrer que pour tout endomorphisme f de E, il existe un entier p qui vérifie :

et (en somme directe)

Étude du cas général :
on suppose dans cette question que l'endomorphisme f n'est pas bijectif.
4)a. Soit k un entier naturel, justifier :
-
-
b. On note pour tout entier naturel k la dimension de . Montrer que la suite est croissante.
c. Montrer que l'ensemble des entiers naturels k tels que est non vide.
d. En déduire l'existence d'un entier p, supérieur ou égal à 1, qui vérifie :
-pour tout entier k vérifiant , on a :
-
e. Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à p on a :
f. Déduire de ce qui précède l'égalité (en somme directe)

C'est un peu long mais j'ai réussi à démontrer tous les résultats avec plus ou moins de difficulté, la seule question me posant une colle est la dernière ... Je ne vois pas d'où on peut déduire l'égalité.
J'ai tenté de refaire la démarche avec mais sans succès, de même en raisonnant sur les dimensions et je suis finalement à cours d'idée
Si quelqu'un a une idée, ne serait-ce qu'une piste cela pourrait m'aider
merci d'avance,
nollie16.
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[invite0d584d8e]

Classique des classiques regarde la suite des noyaux itérés

[invite849a2c25]

effectivement ^^', il suffit de montrer que leur intersection est nulle ce qui est -quasi- évident avec toutes les questions précédentes !
Merci beaucoup