exercice de topologie

[invite37ded05a]

bonjours
(X;d) un espace métrique tel que toutes les boules fermées de X sont compactes ;alors comment montrer que X est complet?; et toute partie fermée bornée de X est compacte?
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[Seirios]

Bonjour,

alors comment montrer que X est complet?

Une suite de Cauchy est nécessairement bornée, donc elle prend ses valeurs dans une boule fermée ; toute suite de Cauchy admet donc une valeur d'adhérence, c'est-à-dire converge.

et toute partie fermée bornée de X est compacte?

Toute partie bornée est incluse dans une boule fermée, et un fermé dans un compact est compact.

[invite37ded05a]

merci pour l'aide;si F et G sont deux fermés d'un espace tpologique E tels que l'intersection et la réunion de F et G soint connexes non vides ; alors comment montrer que F et G sont deux connexes?

[invite899aa2b3]

On peut montrer que si par exemple n'est pas connexe, alors il y a un truc qui cloche.

[A voir en vidéo sur Futura]