Fonctions trigonométriques et relations triangulaires

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me suis posé la question : comment fait-on le lien entre la définition des fonctions trigonométriques en tant que séries (définitions "propres") et les relations triangulaires (cos(a)=côté adjacent/hypothénuse, etc.) ?

J'ai pensé au théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle d'hypothénuse égal à 1, on a a²+b²=1 (avec a et b ses deux autres côtés), donc il existe un reél t tel que a=cos(t) et b=sin(t). Le triangle rectangle étant entièrement déterminé par une seule valeur (un angle et un côté étant déjà fixé), on doit pouvoir faire le lien entre un angle et le réel t, disons . Ainsi, , ou en disant que le cosinus s'applique aux angles lorsque ceux-ci sont exprimés dans une certaine unité (pour confondre et ), on retrouve la relation du cosinus comme le quotient du côté adjacent et de l'hypothénuse.

Mais pour cela, il faut faire le lien entre et les radians, c'est-à-dire montrer que (pour en degrés).

A votre avis, comment peut-on faire ? Ou bien quelqu'un a-t-il une autre solution ?

Merci d'avance,
Phys2
-----

[invited749d0b6]

Bonjour,

.
Soit avec réel. Soit , l'adjoint de . , en prenant le conjugué de chaque terme de la série.
De plus , en montrant avec les séries que, ou en développant dans la série chaque terme .
Donc , donc est de norme , donc sur le cercle de centre et rayon .
, donc la dérivée de la fonction est de norme 1. Donc la mesure de l'arc entre et est . Donc est l'angle.
La partie réelle est la projection de sur l'axe réel.

[Seirios]

J'avais pensé aux complexes, mais pas de cette manière. Merci