Existence du developpement limite d'un quotient

[inviteff51a778]

Bonjours a tous,

J'ai une question plutot urgente a vous soumettre. Je vous remercie d'avance pour l'attention que vous y accorderez

Il s'agit de justifier pourquoi la fonction f qui a tout reel t (non nul) associe t/(exp(t) - 1) admet un developpement limite en 0 a tout ordre n

exp(t) - 1 etant nul en zero, je rencontre une importante difficulte pour demontrer ce resultat
Je peux aisement prolonger continuement ma fonction f en 0 avec f(0)=1, mais de la a demontrer qu'elle est C(n) pour tout n pour en deduire l'existence de son dl d'ordre n... En plus, je ne suis pas franchement sur qu'elle soit C(infini)

Voyez-vous une solution a mon probleme, ou une piste de reflexion qui pourrait me sortir de ce mauvais pas ?
Merci a tous
-----

[inviteff51a778]

J'ajouterai que j'ignore comment calculer ce developpement limite

Merci de votre aide

[invite4ef352d8]

Salut !

exp(t)-1 a un dévelopement de la forme t+t²/2+t^3/6... donc on peut le diviser par t pour obtenir en dévelopement de (exp(t)-1)/t :

1+t/2+t^2/6 +...

et là tu as un dévelopement qui ne s'annule pas en 0, tu peux donc l'inverser :

t/(exp(t)-1) = 1/(1+t/2+...) = 1/(1+(t/2+t^2/6+... ) )

[inviteff51a778]

Merci beaucoup pour ta reponse

Je prolonge continuement en 0 ma fonction u qui a t associe (exp(t)-1)/t par u(0)=1, du coup j'ai f=1/u, avec u non nulle en 0, et ca roule!!

Thanks for your help

[A voir en vidéo sur Futura]