Développement limité d'un quotient

[invite45ca6d89]

Bonjour tout le monde,
J'espère trouver mon bonheur avec votre solidarité..

J'ai un petit problème pour quelques développements limités, j'ai certains doutes...

1) Faire le développement limité en 0 à l'ordre 1 de f(X) = exp(X) / [ (exp(X) - 1).ln(1+X) ]

Le problème que j'ai pour ce développement limité est le suivant:
Pour le DL d'un quotient f/g, il faut que lim g =! 0. Ou dans le cas contraire, si g tend vers 0, f doit tendre vers 0 également.Donc il y a problème non ? A mon avis, je dois faire un Développement limité dit généralisé ...

voila ce que j'ai fais :
g(X)= exp(X)-1= X + X^2/2 + o(X^2)
h(X)= ln(X+1)= X - X^2/2 + o(X^2)
donc g(X).h(X)= X^2 + o(X^2)

Par conséquent je développe le numérateur à l'ordre 3:
exp(X) = 1 + X + X^2/2 + X^3/6 + o(X^3)

à la fin je trouve f(X)= 1/X^2 + 1/X + 1/2 + X/6 +o(X)

On m'a dit que c'était faux (vrai ou pas ? en tout je sais pas ce qui va pas)

2) faire le produit fg avec f(x)=1/x^2 + 2/x + 1 + o(1) et g(x)=1/x - 1 + x + o(x)

La je pensais faire le DL d'un produit comme d'habitude. Comme l'ordre des deux DL est différente, il faut faire le produit des DL mais à l'ordre k=min(0+val(f) ; 1+val(g)) mais valuation(f)=-2 et val(g)=-1
Donc il faut que je tronque à l'ordre -2 ? Je ne comprends pas non plus...

j'ai trouvé 1/x^3+ 1/x^2 + o(x^-2) Est-ce bon ?

Si on voulait avoir un DL de précision o(x) on aurait du avoir un DL à l'ordre 3 pour f et 2 pour g. est-ce correct ?

Merci d'avance pour votre aide
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[invite57a1e779]

On m'a dit que c'était faux (vrai ou pas ? en tout je sais pas ce qui va pas)

Bonjour,

C'est effectivement faux, il faut que tu calcules plus de termes dans les développements.





Donc

Le plus pénible est le calcul, avec les méthodes usuelles, à l'ordre 3

d'où, en divisant par ,

[invite45ca6d89]

Merci pour votre réponse à la première question

Mais comment fais-t-on pour ne pas oublier de termes, car je crois que c'est ce qu'il m'est arrivé. Moi je me suis tout simplement dis le dénominateur dois être exprimé à un rang en dessous de celui du numérateur. C'est ce raisonnement qui m'a induit à l'erreur ?
En d'autres termes, que faut-il que je me dises pour savoir à quelle rang je dois exprimer mes DL ?

Encore merci
Je vais essayé tout de suite ce que vous m'avez dit de faire

[invite57a1e779]

En d'autres termes, que faut-il que je me dises pour savoir à quelle rang je dois exprimer mes DL ?

Ton calcul initial donne un plan d'ensemble de ce qui se passe. Cela permet de déterminer d'où on doit partir pour arriver à ce que l'on veut.

A la fin du calcul, on divise par : pour obtenir un développement à l'ordre 1, il faudra avoir auparavant un développement à l'ordre 3.

Au numérateur, pas de problème, on écrit directement le développement à l'ordre 3.
Mais au dénominateur, le terme est apparu parce que l'on a factorisé chaque développement par : il faut donc avoir commencé à l'ordre 4 pour que cette factorisation laisse subsister des développements à l'ordre 3.

C'est le principe du calcul des DL : il faut anticiper sur ce qui va se passer pour déterminer à quel ordre on a besoin de prendre les développements en début du calcul. Tout le reste n'est que technique fastidieuse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

NB : il y a une erreur de signe lorsque je mets en facteur dans le développement de

[invite45ca6d89]

Je vois
en tout cas mieux vaut faire plus de termes que pas assez en faite et tronquer après...

Pour ce qui est de cet exemple, c'est la première que je tombe sur un quotient où le dénominateur tend vers 0 en 0, mais que le numérateur lui ne tende pas également vers 0. Cela change quoi ? Car dans ce cas là, on dit que le DL n'existe pas. Alors le DL qu'on fait correspond à quoi en faite ?
Ce que je comprend pas, c'est qu'on dit que le DL n'existe pas, mais on en fait un comme même :s

Voila ce que j'ai trouvé :


PS: j'avais remarqué la petite erreur de signe

[invite57a1e779]

Ton résultat me semble exact. Tu as calculé un développement limité généralisé, ou développement asymptotique de la fonction f au voisinage de 0.