petite intégrale

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aimerai savoir s'il existe un moyen plus rapide pour calculer l'intégrale suivante

j'ai fait avec la méthode du changement de variable puis linéarisation mais c'est long.
au final j'ai trouvé pi/8


merci de votre aide
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[inviteaf1870ed]

Au vu de la symétrie tu poses u=1/2-x et tu es ramené à une intégrale de la forme racine (a-x²) qui est classique

[invitea3eb043e]

Tu peux aussi, mais c'est la même idée, poser que la racine vaut y, remarquer que x² + y² - x = 0 est un cercle et paramétrer ce cercle en trigonométrie.

[invite371ae0af]

est ce que l'idée du cercle marche toujours pour ce type d'intégrale ou cela est il dû à l'intervalle d'intégration qui est [0,1]

De plus, je n'ai pas bien compris cette phrase: poser que la racine vaut y, remarquer que x² + y² - x = 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Si y = racine(x - x²) alors x² + y² - x = 0, non ?
La méthode est générale, c'est comme ça qu'on trouve la primitive de racine(1 - x²)

[invite371ae0af]

ah d'accord, merci car j'avais pas vu que tu faisais comme ca

j'aurai encore une question comment vois tu qu'il s'agit d'un cercle?

moi quand je fais j'ai:
(x-1)²+(y-0)²-1+x=0 et j'aboutit pas?

[invitebf26947a]

Je crois que:

x²-x+y²=(x-1/2)²+(y-0)²-1/4
Ce qui ressemble au cercle de centre -(1/2;0), rayon 1/2.

Le truc, c'est de faire de factoriser x²-x par (x-quelquechose)², pour que le developpement de quelquechose/2=x, et soustraire le terme en (quelquechose)²

[invite371ae0af]

oui je m'en suis apercu en refaisant le calcul sur un papier
je crois que j'aurai du chercher avant

et puis ce n'est pas un cercle mais un demi cercle

[invitebf26947a]

Ok. Tant mieux.
Content que tu aies réussi.

[invite2bc7eda7]

Bonjour,

Je crois que:

x²-x+y²=(x-1/2)²+(y-0)²-1/4
Ce qui ressemble au cercle de centre -(1/2;0), rayon 1/2.

Le truc, c'est de faire de factoriser x²-x par (x-quelquechose)², pour que le developpement de quelquechose/2=x, et soustraire le terme en (quelquechose)²

ceci s'appelle plus couramment la factorisation canonique...