Diagonalisation simultanée

[mimo13]

Salut,

Soient diagonalisables de valeurs propres resp et , et si de plus et commutent, on montre (d'habitude par récurrence sur la dimension de ) qu'il existe une base de de diagonalisation commune.

Un truc me gêne : On peut montrer facilement que

Or, dans une base adaptée à cette somme directe, les matrices des deux endomorphismes sont diagonales, ce qui permet de conclure bien plus rapidement.

Qu'en pensez vous ?

Merci
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[Thorin]

salut,

peux tu écrire la manière dont tu démontres facilement ton égalité d'espaces ?

[mimo13]

Re,

Ca sent la coquille... je me lance:

étant diagonalisable .

Je note l'endomorphisme induit par sur qui est diagonalisable (car l'est) donc pour tout on a

D'où le résultat.

Ca me semble assez direct, tout en revoyant mon raisonnement, le seul passage à mon avis qui peut sembler "trop" rapide est lorsque je conclut:



Mais je pense qu'avec une représentation matricielle, c'est assez visuel non ?

Merci

[invitebe0cd90e]

Salut,

sauf erreur rien ne te dit que se restreint en un endomorphisme de ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Salut,

sauf erreur rien ne te dit que se restreint en un endomorphisme de ...

Les endomorphismes et commutent, les sous espaces propres de sont stables par .

D'ailleurs, on peut montrer un résultat plus général, si alors est stable par .

[Seirios]

Ca me semble assez direct, tout en revoyant mon raisonnement, le seul passage à mon avis qui peut sembler "trop" rapide est lorsque je conclut:



Mais je pense qu'avec une représentation matricielle, c'est assez visuel non ?

Même si l'on veut montrer rigoureusement l'égalité, cela n'est pas vraiment difficile :

.

Et , en utilisant que les sont en somme directe.

(Plus rapidement, on peut simplement utiliser la premier égalité en prenant des sommes directes, se comportant bien par l'intersection.)

Personnellement, je ne vois pas d'erreur dans ta démonstration.

[Thorin]

Même si l'on veut montrer rigoureusement l'égalité, cela n'est pas vraiment difficile :

.

Étant donné que l'intersection n'est pas toujours distributive, il faut justifier cette égalité.



En fait, quand on fait la démo, on peut ne pas faire de récurrence.

on commence par dire que les sous espaces propres de l'un sont stable par l'autre. On s'intéresse donc à un sous espace propre de . est stable par ce sous espace propre, on peut donc considérer la "restriction" (terme impropre que j'utilise tout de même) de à ce sous espace propre. Il faut dire ensuite que cette "restriction" est aussi diagonalisable dans une certaine base de l'espace propre auquel on s'intéresse.