probleme de formulation de phrase

[milsabor]

Bonjour
Je voudrais savoir ce que signifie "f(x) est strictement croissante de R dans ]-inf;1[" et comment pourrait on introduire le mot bijection dans cette phrase??
merci de otre réponse
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[invitead065b7f]

salut,

"de R" signifie que l'ensemble de départ de la fonction est R. Elle est définie pour tout réel.

Si tu veux introduire le mot bijection, moi je le mettrais come ceci : "est une bijection de R sur [ton intervalle]".


Amicalement
Moma

[milsabor]

Mais alors si R c'est l'ensemble de définition de la fonction(donc les valeurs de x) c'et quoi l'autre intervalle ]-inf;1[

[g_h]

Mais alors si R c'est l'ensemble de définition de la fonction(donc les valeurs de x) c'et quoi l'autre intervalle ]-inf;1[

C'est l'intervalle dans lequel ta fonction prend ses valeurs.

Trace cette fonction par exemple :


Elle est strictement croissante, son ensemble de départ est R et son ensemble image est ]-inf, 1[

Et pour introduire la bijection :
Une fonction strictement croissante d'un intervalle I vers une intervalle J est une bijection de I sur J SSI elle est continue (c'est bien le cas pour la fonction que je t'ai donné en exemple)

[A voir en vidéo sur Futura]

[milsabor]

a ok c'est les valeurs que prend la fonction d'accord.
Merci du renseignement
Amitiés

[doryphore]

Attention, quand on commence à parler de bijection, il ne faut plus voir simplement les fonctions comme des correspondances entre deux nombre (ton x -> f(x)), il faut prendre en compte les ensembles de départ et d'arrivée dans la définition de la fonction.

Ainsi dire que la fonction f: x -> x est bijective n'a aucun sens.

Il faut préciser par exemple, f: x-> x de R+ dans R+ est bijective .

En effet f: x->x n'est même pas une application de R dans R+ car les nombres négatifs n'ont pas d'image. (il existe des nombres de l'ensemble de départ qui n'ont pas d'image)

et f:x->x de R+ dans R, cette fois n'est pas bijective car il existe des nombres de l'ensemble d'arrivée qui n'ont pas d'antécédents (elle n'est donc pas surjective).

[milsabor]

oui oui, donc une fonction qui est bijective de R dans R est strictement monotone sur R, c'est bien ca.
Donc pour pouvoir appliquer le théoreme des valeurs intermédiaires, il faut que notre fonction soit une bijection de R dans un intervalle

[doryphore]

Oui, d'un intervalle de R dans un autre intervalle de R...

L'inportant étant d'avoir un ensemble connexe (sans trous) ce qui est le cas par définition pour les intervalles.

[milsabor]

Oui mais si j'en reviens à ma fonction initiale:

f(x) est strictement croissante de R dans ]-inf;1[

Cette fonction n'est pas une bijection de R dans ]- ;1[ car il n'y a pas le meme nombre de valeurs au départ et à l'arrivée, chaque valeur de R ne peut pas etre assocée à une valeur de l'intervalle d'arrivée.

[doryphore]

Le problème, c'est que tu raisonnes comme si tes ensembles étaient finis.
Ce que tu dis est vrai si tes ensembles de départ et d'arrivée ont un nombre fini de valeurs. Dans ce cas, ils ont le même cardinal.

En revanche, pour les ensembles infinis, la notion de nombre d'éléments perd son sens: ça ne veut plus rien dire...

On dit d'ailleurs que deux ensembles sont de même cardinal s'il existe une bijection entre ces deux ensembles...

C'est ainsi que ont le même cardinal.

De même ont le même cardinal.

[milsabor]

Aïe je n'ai pas compris grand chose a ce que tu viens de dire (il faut dire que je ne sais pas ce que signifie cardinal en lmaths)
PAr exemple, la fonction g(x)=x est elle une bijection de R dans ]0,1[ ? , non car certaines valeurs de l'ensembe de départ ne sont pas dans l'intervalle d'arrivée.
Mais alors pourquoi la fonction f(x)=1-(x²-2x+2)e^-x est elle une bijection de R dans ]-;1[??? Quelle est la différence entre les deux??

[invitead065b7f]

Quelle est la différence entre les deux??

Salut,

ce qu'il faut regarder, ce ne sont pas les intervalles en eux même, mais l'ensemble de départ, et l'image de cet ensemble par la fonction.

Dans ton premier exemple, on ne peut même pas définir une telle fonction, car certaines images (certains g(x)) ne sont pas dans l'intervalle d'arrivée (prends x =-5 par exemple, g(x) n'est pas dans ton ensemble d'arrivé).

Par contre, pour f, je te défie de trouver une valeur à donner à x qui ferait que f(x) n'est pas dans l'intervalle d'arrivé .

Amicalement
Moma

[milsabor]

D'accord je crois que c'est clair
merci de ta réponse
Cordialement