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Une limite de suite bien étrange !



  1. #1
    julien_4230

    Une limite de suite bien étrange !

    Bonjour.

    Soit :

    U1 = E(Pi) / 1²

    U2 = [ E(Pi)+E(2Pi) ] / 2²

    Un = [ E(Pi)+E(2Pi)+...+E(nPi) ] / n²

    On sait que : x - 1 < E(x) =< x



    Montrer que la suite (Un) converge vers Pi/2.



    Ce que je pense : Ne faut-il pas que je me serve de :
    l Un - Pi/2 l < Epsilone ?
    Dans ce que je fais comment pour soustraire ? Quel est la valeur de Epsilone ???

    Merci de m'aider !!!

    -----


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  3. #2
    doryphore

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Essaie d'encadrer ta suite entre deux suites adjacentes qui tendent vers Pi grace à la définition de la partie entière.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    J'ai obtenu ceci :

    Soit k un entier :

    SOMME [kPi - 1] < SOMME [E(kPi)] =< SOMME [kPi]

    C'est ça ? Je fais quoi maintenant ???

    Merci !!

  5. #4
    doryphore

    Smile Re : Une limite de suite bien étrange !

    Tu montres que la différence des deux suites tend vers 0.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  6. #5
    ericcc

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Tu y es presque. Tu peux mettre pi en facteur et écrire ta somme de gauche sous la forme :

    Pi*somme(k)-somme(1)

    Tu dois savoir ce que vaut la somme des n premiers nombres ?

    Je te laisse faire la meme chose à droite.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Ouuah la la c'est difficile ça !

    Je ne vois vraiment pas comment faire après !

    Même montrer que les deux sont croissantes et décroissante je ne vois pas par quel chemin je dois passer !

    Je fais Un+1 - Un mais je ne vois pas comment faire là !
    Il faut que je divise Un+1 par (n+1)² et Un par n² ?
    Même, je trouve un truc très louche !

    Merci de m'éclairer !

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  10. #7
    doryphore

    Cool Re : Une limite de suite bien étrange !

    Ce sera sans doute inutile, excuse moi, le théorème des gendarmes est suffisant... donc montre que ces deux suites ont la même limite.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #8
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    justement, leur limite est de Pi/2, sûr, mais comment je dois commencer ????

    Merci !

  12. #9
    doryphore

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Comme dit Ericc, tu connais la somme d'une suite arithmétique: tu n'as qu'à t'en servir pour connaître le terme d'indice n de tes deux suites.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    ericcc

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Tu n'as pas besoin de faire des choses compliquées :

    la suite de gauche vaut pi*somme(k)-n : on a mis pi en facteur il reste la somme des n premiers nombres et on retranche 1 à chaque fois. Comme il y a n termes on retranche n*1=n.

    Tu dois savoir que la somme des n premiers nombres vaut n(n+1)/2.

    Donc la suite de gauche vaut pi*n*(n+1)/2 - n.

    Ta suite Un est égale à SOMME [E(kPi)] /n^2

    Donc...

  14. #11
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    SOMME (x - y) = SOMME (x) - SOMME (y) ???

    EDIT : SOMME (k) jusqu'à n, c'est n(n+1) /2 ???
    Dernière modification par julien_4230 ; 10/10/2005 à 18h23. Motif: rajout

  15. #12
    ericcc

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Bien sur c'est la propriété d'associativité de la somme !!!

    Pour t'en convaincre :
    (x1-y1)+(x2-y2)+(x3-y3) =(x1+x2+x3)-(y1+y2+y3)

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  17. #13
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    aaaaaaaaaah bien voilààà il fallait le dire !!! lol

    Maintenant, est-ce que : SOMME (k) jusqu'à n, c'est n(n+1) /2 ???

  18. #14
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    comment as-tu trouvé le "n(n+1) /2" ? d'où il vient ? de quelle somme ?

    merci!

  19. #15
    Quinto

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Replonge toi dans tes cours de première sur la somme des suites arithmétiques.

  20. #16
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Ca y est ! J'ai fini tout !
    En fait, K€IN*, donc la somme des n termes de k est bien la somme d'une suite arithmétique ! J'ai bien compris...

    Moral de l'exo :
    SOMME (x - y) = SOMME x - SOMME y.
    on a : SOMME x. Dans le symbole de la somme (Epsilone majuscule), on place en dessous de combien on augmente, tous les x, et au dessus, jusqu'à où !!!

    Cool, je me sens bien tranquille, merci pour tous vos conseils...

    A très bientôt !

  21. #17
    Quinto

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    C'est un sigma, epsilon ne ressemble pas du tout à ça.

  22. #18
    julien_4230

    Re : Une limite de suite bien étrange !

    Sigma majuscule, pardon ^^ j'me suis trompé :$ ^^

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