Bonjour.
Soit :
U1 = E(Pi) / 1²
U2 = [ E(Pi)+E(2Pi) ] / 2²
Un = [ E(Pi)+E(2Pi)+...+E(nPi) ] / n²
On sait que : x - 1 < E(x) =< x
Montrer que la suite (Un) converge vers Pi/2.
Ce que je pense : Ne faut-il pas que je me serve de :
l Un - Pi/2 l < Epsilone ?
Dans ce que je fais comment pour soustraire ? Quel est la valeur de Epsilone ???
Merci de m'aider !!!
Essaie d'encadrer ta suite entre deux suites adjacentes qui tendent vers Pi grace à la définition de la partie entière.
J'ai obtenu ceci :
Soit k un entier :
SOMME [kPi - 1] < SOMME [E(kPi)] =< SOMME [kPi]
C'est ça ? Je fais quoi maintenant ???
Merci !!
Re : Une limite de suite bien étrange !
Tu montres que la différence des deux suites tend vers 0.
Tu y es presque. Tu peux mettre pi en facteur et écrire ta somme de gauche sous la forme :
Pi*somme(k)-somme(1)
Tu dois savoir ce que vaut la somme des n premiers nombres ?
Je te laisse faire la meme chose à droite.
Ouuah la la c'est difficile ça !
Je ne vois vraiment pas comment faire après !
Même montrer que les deux sont croissantes et décroissante je ne vois pas par quel chemin je dois passer !
Je fais Un+1 - Un mais je ne vois pas comment faire là !
Il faut que je divise Un+1 par (n+1)² et Un par n² ?
Même, je trouve un truc très louche !
Merci de m'éclairer !
Re : Une limite de suite bien étrange !
Ce sera sans doute inutile, excuse moi, le théorème des gendarmes est suffisant... donc montre que ces deux suites ont la même limite.
justement, leur limite est de Pi/2, sûr, mais comment je dois commencer ????
Merci !
Comme dit Ericc, tu connais la somme d'une suite arithmétique: tu n'as qu'à t'en servir pour connaître le terme d'indice n de tes deux suites.
Tu n'as pas besoin de faire des choses compliquées :
la suite de gauche vaut pi*somme(k)-n : on a mis pi en facteur il reste la somme des n premiers nombres et on retranche 1 à chaque fois. Comme il y a n termes on retranche n*1=n.
Tu dois savoir que la somme des n premiers nombres vaut n(n+1)/2.
Donc la suite de gauche vaut pi*n*(n+1)/2 - n.
Ta suite Un est égale à SOMME [E(kPi)] /n^2
Donc...
SOMME (x - y) = SOMME (x) - SOMME (y) ???
EDIT : SOMME (k) jusqu'à n, c'est n(n+1) /2 ???
Bien sur c'est la propriété d'associativité de la somme !!!
Pour t'en convaincre :
(x1-y1)+(x2-y2)+(x3-y3) =(x1+x2+x3)-(y1+y2+y3)
aaaaaaaaaah bien voilààà il fallait le dire !!! lol
Maintenant, est-ce que : SOMME (k) jusqu'à n, c'est n(n+1) /2 ???
comment as-tu trouvé le "n(n+1) /2" ? d'où il vient ? de quelle somme ?
merci!
Replonge toi dans tes cours de première sur la somme des suites arithmétiques.
Ca y est ! J'ai fini tout !
En fait, K€IN*, donc la somme des n termes de k est bien la somme d'une suite arithmétique ! J'ai bien compris...
Moral de l'exo :
SOMME (x - y) = SOMME x - SOMME y.
on a : SOMME x. Dans le symbole de la somme (Epsilone majuscule), on place en dessous de combien on augmente, tous les x, et au dessus, jusqu'à où !!!
Cool, je me sens bien tranquille, merci pour tous vos conseils...
A très bientôt !
C'est un sigma, epsilon ne ressemble pas du tout à ça.
Sigma majuscule, pardon ^^ j'me suis trompé :$ ^^
