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une suite étrange



  1. #1
    Le_Sphinx
    définir la suite numérique R_n telle que à chaque entier n, R_n soit le "retourné" de n
    Par exemple, R_1564=4615
    R_50687=78605
    R_33233=33233
    R_(13^2)=(R_13)^2

    moi j' y travaille et j'y suis presque!

    -----


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  3. #2
    folky
    tu entends quoi par définir ?
    donner l'expression générale de Un ?

  4. #3
    Meumeul
    Je te conseille juste de faire attention avec r_(13^2)=(r_13)^2 ki ne se généralise pas du tout.
    Si ce ke tu veux c'est lexpression de r_n en fonction de n, je te conseille de chercher du coté du developpement decimal en adaptant un peu la forme.....je garantie pas, mais ca peu donner quelque chose :?

  5. #4
    Le_Sphinx
    Citation Envoyé par folky
    tu entends quoi par définir ?
    donner l'expression générale de Un ?
    c ' est effectivement la question; mais attention!
    je pense(parce que je n' ai pas trouvé d' autre moyen) qu' il faut définir R_n pour tout n tel que 10^p (inférieur ou égal à) n ( strictement inférieur à) 10^(p+1)

  6. #5
    folky
    J'ai bien qq idée qui me viennent en tete mais ça me parait très difficile (impossible ?). Surtout l'information sur la longueur du nombre semble importante poru pouvoir exprimer la suite?

    Tu as quoi comme formule en ce moment ? Meme si elle est pas encore bonne

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    greg-richard
    pour n appartient à [0;99]

    Un=10n-99E(n/10)
    ex:
    prend n=27
    U(27)=10*27-99*E(27/10) E est la fonction partie entière
    U(27)=72

    démonstration:
    tout nombre n compris entrs 1 et 99 s'écrit a*10+b
    ex: 32=3*10+2
    alors a=E(n/10)
    b=n-10a = n-10E(n/10)

    alors pour que n devienne par la suite U son renversé il faut que:
    Un=10b+a
    Un=10(n-10E(n/10))+E(n/10)=10n-100E(n/10)+E(n/10)
    Un=10n-99E(n/10)

    de la même façon on peut trouver l'expression de U de 100 à 1000 etc...
    mais je n'ai pas encore trouvé la formule générale de U en fonction de n pour tout n de N

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  10. #7
    folky
    oui je pensais à qq chose de similaire, c'est pour ça que je parlais d'information sur la longueur du nombre, parce que sinon j'ai du mal a voir comment faire

  11. #8
    curieux
    f(n) = n*10<sup>E(log(n))</sup> - 99 Somme de k = 1 à E(log(n)) de E(n/10<sup>k</sup>)*10<sup>E(log(n)) - k</sup>

    J'appelle log(n) le logarithme décimal de n, en particulier E(log(n) = 0 pour n = 1 à 9, E(log(n)) = 1 pour n = 10 à 99, E(log(n) = 2 pour n = 100 à 999

    remarque: la formule de greg-richard ne marche pas pour n = 1 à 9

    n = 8
    Un = 80 - 99*0 = 80

  12. #9
    Le_Sphinx
    Continuez vous êtes sur la bonne voie
    Je ne donnerais la solution que quand je la verrais (mais n' allez pas croire que je ne l'ai pas encore trouvée)
    Indice:remarquez que R_n=n et reflechissez à ce que dit curieux à propos de greg-richard

    Bonne chance!

  13. #10
    Meumeul

    Cool Re : une suite étrange

    Salut,

    je propose ceci:
    On fixe n dans N.
    Soit l=E(log(n))
    l represente la longueur de n en base 10.

    On definit par recurrence les ak=E((n-somme(i=k+1 à l, ai*10i))/10k)
    (on remarque que la recurence est descendante...)

    On a alors n=somme(k=0 à l, ak10k)

    D'ou R_n=somme(k=0 à l=E(log(n)), al-k10k)


    A plus.

  14. #11
    Meumeul

    Re : une suite étrange

    Au passage, merci a curieux pour l'astuce du log

  15. #12
    Le_Sphinx

    Thumbs up Re : une suite étrange

    Citation Envoyé par Meumeul
    Au passage, merci a curieux pour l'astuce du log
    moi non plus j' avais pas pensé à définir la longueur de n comme I=E(log(n))
    je tente à présent de l' intégrer dans ma solution pour la simplifier
    merci curieux!!!!!!!

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  17. #13
    Le_Sphinx

    Wink Re : une suite étrange

    bon vu que personne ne trouve je donne...un indice
    on a si n E (0;9) , R_n=n
    n E (10;99) , R_n=10n-99E(n/10)
    n E (100;999) , R_n=100n-990E(n/10)-99E(n/100)
    n E (1000;9999),R_n=1000n-9900E(n/10)-990E(n/100)-99E(n/1000)
    en plus ,il y a deux méthodes: avec des sigmas ou par factorisation
    allez un petit effort!

  18. #14
    Meumeul

    Unhappy Re : une suite étrange

    elle te va pas ma reponse au numero 10 ???????????

  19. #15
    folky

    Re : une suite étrange

    baaaaaah si la définition est par partie ça devient cheap ^^

  20. #16
    Le_Sphinx

    Re : une suite étrange

    Citation Envoyé par Meumeul
    elle te va pas ma reponse au numero 10 ???????????
    c'est surement exact(je suppose que tu as verifié)mais je ne peut pas le savoir car je ne sais pas ce qu'est une recurrence "descendante"(je crois deviner que c'est quand on définit U_n à partir de U_(n+1) au lieu de définir U_(n+1) à partir de U_n)
    mais il te faut quand même dans ce cas avoir a indice I (si j'ai bien compris) pour démarrer ta récurrence descendante
    si je suis à coté de la plaque, explique plus en détail ton raisonnement SVP

    d'autre part, j'aime pas les sigmas,donc je préfere faire avec la factorisation, mais ça c'est personnel
    pour répondre à folky desole mais je crois pas qu'il y ai un autre moyen que de scinder N, mais si ça t'amuse t'as qu'à essayer sans

    voila C tout
    bonne continuation!

  21. #17
    Meumeul

    Smile Re : une suite étrange

    On definit toujours L=Ent(log(n)).

    On a ensuite n=a_L * 10L + a_L-1 * 10L-1 + ...... + a_1 * 101 + a_0 * 100

    Ca, on le sait ; Le raisonnement pour avoir les a_n donne :

    a_L = chiffre de gauche = E( n / 10L )
    Autrement dit, on decale les chiffres vers la droite et on prend la partie entiere.

    Ensuite, recurrence :
    a_L-1 = E( { n - a_L * 10L } / 10L-1 )
    On enleve le premier chiffre, on decale, on prend la partie entiere.....

    Et ainsi de suite

    Si c'etait pas claire, y a juste a dire, j'essairai de faire mieux

  22. #18
    Le_Sphinx

    Thumbs up Re : une suite étrange

    Merci!
    voici à present ma soluce
    Soit (R_I)(n) le retourné de n, si I=E(log(n))
    alors on peut définir (R_I)(n) avec une récurrence comme(R_I)(n)=10(R_(I-1))-99E(n/10^I)
    et (R_0)(n)=n
    on retrouve bien les formules données plus haut
    maintenant,le problème c'est de démontrer que c'est vrai(avec la calculette ca marche)
    a+

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  24. #19
    Meumeul

    Smile Re : une suite étrange

    Je crois pas qu'il y ait quoi que ce soit a montrer puisqu'on s'appuie sur la definition de l'ecriture decimale

    Il y a juste la longueur I=E(log (n)) a demontrer......

  25. #20
    Le_Sphinx

    Cool Re : une suite étrange

    Citation Envoyé par Meumeul
    Il y a juste la longueur I=E(log (n)) a demontrer......
    au pire on se sert même pas du I et on dit que pour tout n compris entre 10^p et 10^(p+1) , R_n est égal à (R_p)(n)
    et on reprend la formule que j'ai donné en remplaçant tous les I par des p (mais tres franchement je trouve ça moins beau qu'avec I

  26. #21
    Meumeul

    Smile Re : une suite étrange

    C'est vrai que I est plus beau...

    Je propose d'ailleurs :

    10I <= n < 10I+1

    On passe aux log:
    I <= log(n) < I+1

    c'est bien la def de la partie entiere !!!!

  27. #22
    Le_Sphinx

    Smile Re : une suite étrange

    donc en fait y a pas d'autre différence entre p et I que leur définition(qui d'ailleurs se rejoignent comme l'a montré meumeul)
    on est donc enfin arrivé à la définition (et à la preuve) de cette suite, et de deux manières différentes!
    merci à tous ceux qui y ont réfléchi

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