f(x,y) uniformément continue

[invite340b7108]

Bonjour,

Je dois determiner si la fonction est uniformément continue sur mais je ne vois pas comment faire. Je sais que si une fonction est continue sur un ensemble compact alors elle est aussi uniformément continue sur cet ensemble, mais je ne sais pas comment montrer que E est compact.

Merci d'avance,
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[taladris]

Bonjour,

Je dois determiner si la fonction est uniformément continue sur mais je ne vois pas comment faire. Je sais que si une fonction est continue sur un ensemble compact alors elle est aussi uniformément continue sur cet ensemble, mais je ne sais pas comment montrer que E est compact.

Merci d'avance,

L'ensemble E n'est pas borné. Donc ce n'est pas un compact.

[invite340b7108]

D'accord, donc je ne peux pas utiliser cette proptiété. Comment puis je faire alors ? Quelle est l'autre méthode ?

[taladris]

Je n'ai pas trop d'idée en fait. C'est plus facile de critiquer une méthode d'en proposer une qui fonctionne.

La fonction que tu regarde est de classe sur ton ensemble de définition privé des droites y=x et y=-x. Peut-être que tu peux utiliser l'inégalité des accroissements finis pour montrer qu'elle est lipschitzienne?

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Mon argument ne marche pas. En fait, la fonction n'est pas uniformément continue sur .

En effet, si f est uniformément continue sur E, alors on peut la prolonger de manière unique en une fonction (que l'on appelera encore f) continue sur . Calculons la valeur C de ce prolongement en (0,0).
La suite tend vers (0,0) quand n tend vers l'infini donc tend vers f(0,0)=c. Mais donc . En considérant , on montre que . D'où la contradiction.

[invite340b7108]

Merci pour cette démonstration !!! Ce que tu démontre, c'est qu'elle n'est pas continue et donc pas uniformément continue, non ? Je veux dire que ce n'est pas une démonstration précise pour le cas uniformément continue ?

[taladris]

Non, je montre que la fonction f définie sur E n'est pas uniformément continue. f définie sur E est continue par contre (composée et quotient de fonctions continues).

Ce que j'utilise, c'est le théorème de prolongement des applications uniformément continues (à valeurs dans un espace complet). Connais-tu ce théorème?