Morphisme de groupes uniformément continu

[Seirios]

Bonsoir à tous,

J'aimerais avoir une piste sur la question suivante : On note , où p est un nombre premier et . est un sous-groupe de et un sous-groupe de . Soit un morphisme de groupes continue en z=1. Il s'agit de montrer que f est uniformément continue.

Quelqu'un aurait-il une petite indication pour cette question ?

Sinon, il y a également une question, où j'aimerais savoir si vous avez une autre preuve que la mienne : Montrer que est une partie dense de .

Pour le prouver, j'ai dit que , donc il suffit de montrer que est dense dans , ce qui se fait en montrant que c'est un sous-groupe de qui n'est pas de la forme .

Quelqu'un aurait-il une autre preuve de ce résultat ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite57a1e779]

Soit un morphisme de groupes continue en z=1. Il s'agit de montrer que f est uniformément continue.

Bonjour,

Il suffit de se ramener en 1 par translation ; pour et dans , tu as :
– d'une part , donc ;
– d'autre part , donc

[Seirios]

J'avais pensé à la translation, mais le fait que le groupe soit multiplicatif me gênait, je n'avais pas pensé à utiliser que les complexes étaient de module 1...

Merci

[invitea07f6506]

Concernant la deuxième question : oui, on peut redémontrer ce résultat "à la main", en revenant à la définition de la densité.

Je pose , de telle sorte que soit l'union des .

Soit un réel et soit . Pour suffisamment grand, est plus petit que , et donc tout réel est à distance strictement inférieure à de (on peut par exemple regarder la distance de à ). Donc, il existe un point de à distance strictement inférieure à de . Ceci étant vrai pour tout réel et tout , l'ensemble est dense dans .

Forcément, vu qu'on n'utilise pas de raccourci, le chemin est plus long.

Une autre façon de voir les choses (moins pratique pour une démo élémentaire, mais peut-être mieux pour la compréhension des objets) : sauf erreur de ma part, tout réel peut s'écrire en base de la façon suivante :



où est nul pour tout au-dessus d'une certaine valeur. Alors est l'ensemble des réels qui n'ont qu'un nombre fini de termes non nuls dans cette décomposition. Pour tout réel , on peut construire un suite de points de convergeant vers . Il suffit par exemple de prendre :



Même si n'est pas premier, pour l'instant tout fonctionne comme si on travaillait avec des nombres décimaux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Merci Garf

[invite4ef352d8]

Salut !


note que c'est un fait complétement général : un morphisme de groupe (pas nécessairement commutatif) continu en au moins un point est automatiquement uniformément continu partout.

[invited73f5536]

Bonsoir.

Il faut quand même utiliser une distance convenable. (par exemple invariante par translations)

En fait, c'est une propriété d'espace uniforme : un morphisme de groupe continu est uniformément continu pour les structures naturelles d'espaces uniformes sur un groupe topologique.
Il faut donc que la distance qu'on considère définisse la structure uniforme naturelle du groupe topologique.

(si le groupe est compact, la question ne se pose pas ...)