Morphisme de groupes de GA(E) dans GL(E)

[invite2b18a7fa]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir si le morphisme de groupes de (GA(E),o) dans (GL(E),o), qui à f associe son application linéaire associée, est bijectif.
En effet, je pense qu'il est injectif puisque pour chaque application affine, il existe une unique application linéaire qui lui est associée, mais j'ai du mal avec la (non)surjectivité. Cela reviendrait, sauf erreur de ma part, à montrer que pour toute application linéaire f, on puisse trouver (ou pas) une application affine F telle que f soit son application linéaire associée.

Merci d'avance pour votre aide
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[invite8a80e525]

Bonjour,

ton morphisme est surjectif mais pas injectif.

En effet, le fait que "pour chaque application affine, il existe une unique application linéaire qui lui est associée" prouve juste qu'il est bien défini, mais ne dit rien sur une éventuelle injectivité.

On peut voir qu'il n'est pas injectif en prenant deux applications affines qui diffèrent d'une constante: elles ont même partie linéaire.

Pour la surjectivité il suffit de remarquer que toute application linéaire est aussi une application affine.

[invite2b18a7fa]

Ah oui effectivement j'étais HS.

Merci bien !

[invite14e03d2a]

Ce qu'on peut montrer par contre, c'est que le groupe affine GA(E) est isomorphe au produit semi-direct du groupe linéaire GL(E) et du groupe des translations T(E).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b18a7fa]

C'est possible mais je ne sais pas ce qu'est le produit semi-direct...

J'en profite pour poser une autre question, ce qui me permettrait de m'ôter d'un doute. Pour que f soit une application vectorielle d'un K-espace vectoriel E dans un K'-espace vectoriel F, K=K' est une condition nécessaire ou est-ce qu'il existe des applications vectorielles entre deux espaces vectoriels qui ne sont pas sur le même corps ?

A priori, dans ce qui me sert de cours il est écrit que non, mais il est parfois pas très rigoureux et je préfère être sûr vu que tout ca c'est tout de même la base.