Exercice Prépa TSI

[invite7a66dfac]

Bonjour a tous,
Je suis nouveau sur ce forum, et je ne sais pas si j'ai le droit de poster la ou je l'ai fais, donc désolé.
Je en classe prépa, et je bosse sur des exercices de l'Officielle de la Taupe. Manques de pot il s'avere que je soit un bete en math!!! LOL!
Voila les exercices:
Soit u ϵ R^3.Montrer que f définie par f(x)=x vectoriel u est linéaire.Déterminer l' image et le noyau de f.
En utilisant une base adapté,déterminer f∘f et en déduire f^n.

J'ai fais la linéarité, mais pour le ker et l'image, je vois pas trop quoi dire, a par ca:
Im(f) => f(x)=y
Ker(f)=> f(x)=0 je vois pas se qu'il faut que je fasse.

J'ai un autre exercice mais alors je cale dès le début
x₀=0 ; x_(n+1)=√((1+x_n)/2);.Existence et Valeur de ∏_(n=0)^infini▒(1+x_n)/2
pour la valeur je pense a une produit télescopique, mais l'existence, je comprend pas la question

J'ai normalement joint un fichier pour l'ecriture des exo
Merci d'avance pour vos réponse!
Codialement
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[silk78]

Bonjour,

Pour trouver le Ker : soit x ϵ Ker(f), on a f(x)=0 d'où , ce que tu devrais savoir résoudre normalement.
Peux-tu alors donner un vecteur générant Ker(f) ?

Ensuite, étant donné Ker(f), que vaut dim(Ker(f)) et donc que vaut r=dim(Im(f)) ?
Il te suffit alors de donner r vecteurs libres appartenant à Im(f) pour en donner une base.

Vois-tu ce que je veux dire ?

Silk

[invite7a66dfac]

si je suis ce que tu me dis, si je fais u vectoriel x =0 ; j'en deduit que u=(1,0,1) ou (1,0,0) ou (0,0,0), donc pour le coup, Ker(f)=Vect(u) ?
dim(ker(f))=dim(E)-dim(Im(f)) (th du rang), si je comprend bien, dim(ker(f))=0 donc u=(0,0,0) et dim(Im(f))=R.
Je gere pas trop les bases,R vecteurs libres je vois pas trop, ca correspond à somme xi.ei=0?
Merci de ton aide

[silk78]

Hmm, j'avoue déjà ne pas voir pourquoi u vectoriel x=0 implique que u=(1,0,1) ou (1,0,0) ou (0,0,0). Dans quelle base écris-tu, et comment trouves-tu ça ?

De plus ici, c'est x l'inconnu de l'équation u vectoriel x=0 (quand tu cherche Ker(f), tu cherche les x tels que x appartienne à Ker(f)), donc c'est pas u mais x qu'il faut exprimer (u est quelconque et est un paramètre de ta fonction, tu ne dois pas le déterminer).

Mais bizarrement tu arrives au bon résultat Ker(f)=Vect(u) Faudra m'expliquer comment-tu as fait là ^^ Peut-être vois-tu le résultat mais tu ne sais pas le justifier.
Une justification qui me parait acceptable : u vectoriel x=0 si et seulement si x est colinéaire à u. Donc Ker(f)=Vect(u).

Ensuite pour l'image, tu cites le théorème du rang (ce qu'il fallait faire), mais tu écris tout d'abord que dim(Ker(f))=0, ce qui est faux, puis que ça implique que u=(0,0,0), ce qui est encore plus faux ^^ (je rappelle que u est quelconque, et que la recherche de Ker(f) et Im(f) ne donne en aucun cas des conditions sur u).

Revenons en arrière : on a Ker(f)=Vect(u), quelle est donc une base de Ker(f) ? Et donc que valent dim(Ker(f)) et en conséquence dim(Im(f)) ?

Je te laisse déjà réfléchir à ça
Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7a66dfac]

En fait je me suis dis, que u etait le vecteur tels que lorsqu'on fais le produit vectoriel on ai 0, donc j'ai marqué les possibilité que u annule le produit. et apres, j'en ai deduit que ker(f)=Vect(u) car c'etait l'ensemble des vecteurs qui constituait u qui faisait f(x)=0. J'ai raisonner comme ca! Mais apres reflexion je ne sais plus ce qu'est le vect(u)!
Je n'avais pas pensé x et u colineaire, mais c'est juste =).
Pour le coup, la dim(Ker(f) vaut 1 dim(Im(f)) vaut 2 et Im(f) inclus dans R, c'est plus juste!
Ensuite ces histoires de bases, je saisis pas, s'il n'ya pas de conditions sur u, une bases du ker(f) se serait (f(x1),f(x2),f(x3))?

[silk78]

Je n'ai toujours pas compris "les possibilités que u annule le produit", qu'entends-tu par là exactement ?
"L'ensemble des vecteurs qui constituait u" ne veut pas dire grand chose mathématiquement.
Vect(u) est l'ensemble des vecteurs qui s'écrivent λu avec λ réel (donc l'ensemble des vecteurs colinéaires à u).

dim(Im(f)) vaut en effet 2 mais attention Im(f) n'est pas inclus dans R si par R tu entends l'ensemble des réels, Im(f) est inclus dans R³.

"une bases du ker(f) se serait (f(x1),f(x2),f(x3))" : je n'ai pas compris ce que tu voulais dire par là, que sont x1, x2 et x3 ? Et pourquoi aurait-on ça ?

Quand à ce que je disais au début, maintenant que tu sais que Im(f) est de dimension 2, il te suffit de trouver deux vecteurs libres dans Im(f) pour en avoir une base.

Enfin si tu ne sais plus ce qu'est une base, je ne peux que te conseiller de revoir ton cours

Bonne chance,
Silk

[invite7a66dfac]

j'avais fais sur une feuille, x vectoriel alpha
beta
gamma et puis, j'ais fais le produit vectoriel, et j'avais mis des 0 pour avoir x vectoriel u=0, du coup c'est la que j'ai donner les combinaisons (101) 100 et 000. je sais pas si tu comprend pourquoi maintenant!? oui je voulais dire R3 c'est plus juste c'est l'ensemble de départ! et f(x1) f(x2) f(x3) je pensais que c'était une base, avec trois vecteur différents qui donne une base! Une base c'est engendré par des vecteurs, et une famille libre.
Je vais voir, ce que je vais faire avec tout ca! je te tiens au courant si j'ai trouvé! Merci en tout cas, ca m'aide pas mal ce que tu m'as dis!

[invite7a66dfac]

Bonjour,
J'ai repris cet exo, j'ai remis au propre, mais je ne trouve toujours pas de base adapter. Je sais que f linéaire, R³ est un ev de dimension finie, donc il admet une base. mais la base s'écrit comment? je tourne en rond.
Ensuite j'ai f∘f=(x vectoriel u)vectoriel u, avec Lagrange j'en déduit (x.u).u-u².x=0 est ce bon? du coup pour fⁿ=0 par le meme principe que f∘f.

Cordialment

[invite7a66dfac]

Bonjour,
J'ai repris cet exo, j'ai remis au propre, mais je ne trouve toujours pas de base adapter. Je sais que f linéaire, R³ est un ev de dimension finie, donc il admet une base. mais la base s'écrit comment? je tourne en rond.
Ensuite j'ai f∘f=(x vectoriel u)vectoriel u, avec Lagrange j'en déduit (x.u).u-u².x=0 est ce bon? du coup pour fⁿ=0 par le meme principe que f∘f.

Cordialement