Sous-groupes de SLn(Z)

[Seirios]

Bonsoir à tous,

J'ai travaillé ce sujet : https://interens.ens-lyon.fr/filiere...matiques_1.pdf, mais je pense être passé à côté d'un lien entre la trace et l'ordre d'un élément.

Pour être plus précis, quelqu'un pourrait-il me donner une indication pour les questions 8.a) et 8.b) ? (je devrais y voir plus clair en répondant à ces deux questions)

Merci d'avance,
Seirios
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[invite57a1e779]

En considérant le produit scalaire de matrice U dans la base canonique, les éléments de G sont des rotations d'ordres finis, d'où la cyclicité du groupe.

Pour une rotation d'angle t, la trace est 2cos(t), ce qui limite les possibilités avec des coefficients entiers.

[Seirios]

C'est-à-dire que les matrices des endomorphismes orthogonaux sont de la forme ? Je ne vois pas vraiment pourquoi : ce sont les éléments de SO₂(IR) pour le produit scalaire usuel dans la base canonique, et non pour pour le produit scalaire de matrice U. A côté de quoi je suis passé ?

[invite57a1e779]

Attention, les éléments de sont orthogonaux pour le produit scalaire de matrice dans la base canonique de : ils sont donc de la forme où est la matrice de passage de la base canonique à une base orthonormée pour ce produit scalaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Ce que je ne comprends pas, c'est que cette forme correspond à la contrainte , alors qu'ici on a la condition . Dans une base orthonormée pour U, on rend U diagonale mais cela ne correspond tout de même pas à la condition ci-dessus, non ?

[invite57a1e779]

On a initialement un élément de , donc la condition : .
On prouve ensuite que est la matrice, dans la base canonique, d'un produit scalaire.
On raisonne alors avec la structure euclidienne de définie par ce produit scalaire, structure pour laquelle la base canonique n'est a priori pas orthonormée (sauf si est la matrice unité...).
On considère, pour cette structure euclidienne, une base orthonormée et on note la matrice de passage de la base canonique à la base ; les deux bases n'étant pas orthonormées, cette matrice de passage n'a aucune raison d'être orthogonale et, en général : .

La matrice représente, dans la base canonique, un endomorphisme orthogonal pour la structure euclidienne définie par , ce qui s'exprime par la relation : .
Cet endomorphisme est représenté, dans la base par la matrice , qui satisfait toujours : , mais dont les éléments ne sont pas nécessairement entiers, et qui n'a donc aucune raison d'appartenir à .
Par contre représente un endomorphisme orthogonal dans une base orthonormée, donc est une matrice orthogonale : . On n'a pas : , mais , c'est-à-dire , et cette dernière formule n'est pas simplifiable puisque .
Comme est une matrice orthogonale de déterminant 1, elle est de la forme ; la trace est conservée par changement de base, donc : .

[Seirios]

D'accord, donc j'ai confondu et . Merci