matrice

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour cet exo:
M=
0 1 0
-1 1 1
-1 0 2

Calculer (M-I3)^n. en déduire M^n

Après calcul j'ai trouvé (M-I3)^6=0
donc j'ai dit (M-I3)^n=0
mais après comment je fait pour trouver M^n
j'ai pensé à utiliser le binôme de newton mais ca ne m'aide pas




Merci de votre aide
-----

[Seirios]

Bonsoir,

Le binôme de Newton n'est pas une mauvaise idée. Tu peux par exemple remarquer que .

[invite371ae0af]

oui merci de ton aide

[invite371ae0af]

j'aurai encore une question:
pourquoi faut il que les éléments du binôme commutent obligatoirement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Tu peux le voir facilement pour n=2 : , donc ssi c'est-à-dire si A et B commutent. Si tu reprends la démonstration par récurrence du binôme de Newton, tu verras que la commutation est nécessaire.

[invite332de63a]

Bonjour,

ceci est un problème d'anneau, Soit (A,+,x) un anneau alors

(x+y)²=x²+xy+yx+y² car xy est pas forcement égal à yx

donc si ils commutent xy=yx donc (x+y)²=x²+2xy+y²
Et plu généralement le binôme de Newton est vrai

Cela peut se voir facilement avec les matrices.

RoBeRTo

[invite57a1e779]

Bonjour,

Après calcul j'ai trouvé (M-I3)^6=0

Si , alors .

j'aurai encore une question:
pourquoi faut il que les éléments du binôme commutent obligatoirement?

Lorsque l'on développe le carré :



et on ne peut regrouper en que dans le cas où et commutent.

Si tu développes le cube, il va apparaître des termes de la forme , et qui donnent le terme dans le cas où et commutent.

Dans tous les cas, on a le même phénomène : le terme en est un regroupement de produits formés de facteurs et de facteurs , dans tous les ordres possibles d'où le coefficient qui les dénombre ; mais ce regroupement n'est possible que dans le cas où et commutent.

[invite332de63a]

Bonjour,

God's breath M²=0 => M=0 ? J'ai un doute. Il existe des diviseurs de 0 dans les matrices. Hormis erreur de ma part.

[invite57a1e779]

Bonjour,

God's breath M²=0 => M=0 ?

C'est plus fin que cette relation, j'ai seulement écrit , parce qu'on considère des matrices de taille 3 : une matrice nilpotente de taille satisfait puisque le polynôme minimal est de degré au plus .

Je voulais simplement faire remarquer à 369 qu'il aurait dû trouver une puissance nulle sans aller chercher aussi loin.

[invite332de63a]

Ah ok j'ai eu peur un instant. De plus je ne connaissait pas cette propriété, trop peu rencontré de nilpotente je pense. Merci.

RoBeRTo