matrice

**369** · 06/04/2011, 19h57

bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour cet exo:
M=
0 1 0
-1 1 1
-1 0 2

Calculer (M-I3)^n. en déduire M^n

Après calcul j'ai trouvé (M-I3)^6=0
donc j'ai dit (M-I3)^n=0
mais après comment je fait pour trouver M^n
j'ai pensé à utiliser le binôme de newton mais ca ne m'aide pas

Merci de votre aide

**Seirios** · 06/04/2011, 20h12

Bonsoir,

Le binôme de Newton n'est pas une mauvaise idée. Tu peux par exemple remarquer que $\text{[math]}$ .

**369** · 06/04/2011, 20h13

oui merci de ton aide

**369** · 06/04/2011, 20h21

j'aurai encore une question:
pourquoi faut il que les éléments du binôme commutent obligatoirement?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 06/04/2011, 20h27

Tu peux le voir facilement pour n=2 : $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ssi $\text{[math]}$ c'est-à-dire si A et B commutent. Si tu reprends la démonstration par récurrence du binôme de Newton, tu verras que la commutation est nécessaire.

**RoBeRTo-BeNDeR** · 06/04/2011, 20h30

Bonjour,

ceci est un problème d'anneau, Soit (A,+,x) un anneau alors

(x+y)²=x²+xy+yx+y² car xy est pas forcement égal à yx

donc si ils commutent xy=yx donc (x+y)²=x²+2xy+y²
Et plu généralement le binôme de Newton est vrai

Cela peut se voir facilement avec les matrices.

RoBeRTo

**God's Breath** · 06/04/2011, 20h34

Bonjour,

Envoyé par 369

Après calcul j'ai trouvé (M-I3)^6=0

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Envoyé par 369

j'aurai encore une question:
pourquoi faut il que les éléments du binôme commutent obligatoirement?

Lorsque l'on développe le carré :

$\text{[math]}$

et on ne peut regrouper $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ que dans le cas où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ commutent.

Si tu développes le cube, il va apparaître des termes de la forme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui donnent le terme $\text{[math]}$ dans le cas où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ commutent.

Dans tous les cas, on a le même phénomène : le terme en $\text{[math]}$ est un regroupement de produits formés de $\text{[math]}$ facteurs $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ facteurs $\text{[math]}$ , dans tous les ordres possibles d'où le coefficient $\text{[math]}$ qui les dénombre ; mais ce regroupement n'est possible que dans le cas où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ commutent.

**RoBeRTo-BeNDeR** · 07/04/2011, 19h32

Bonjour,

God's breath M²=0 => M=0 ? J'ai un doute. Il existe des diviseurs de 0 dans les matrices. Hormis erreur de ma part.

**God's Breath** · 07/04/2011, 20h00

Bonjour,

Envoyé par RoBeRTo-BeNDeR

God's breath M²=0 => M=0 ?

C'est plus fin que cette relation, j'ai seulement écrit $\text{[math]}$ , parce qu'on considère des matrices de taille 3 : une matrice nilpotente de taille $\text{[math]}$ satisfait $\text{[math]}$ puisque le polynôme minimal est de degré au plus $\text{[math]}$ .

Je voulais simplement faire remarquer à 369 qu'il aurait dû trouver une puissance nulle sans aller chercher aussi loin.

**RoBeRTo-BeNDeR** · 07/04/2011, 20h08

Ah ok j'ai eu peur un instant. De plus je ne connaissait pas cette propriété, trop peu rencontré de nilpotente je pense. Merci.

RoBeRTo

matrice

matrice

Re : matrice

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Re : matrice

Re : matrice

Re : matrice

Re : matrice

Re : matrice

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