espace vectoriel

invite4f9ef38e · 07/04/2011, 02h34

Bonsoir,
Est-ce que vous pourriez me donner des exemples d'espaces vectoriels qui ne sont pas normés.
Merci.

invitefa064e43 · 07/04/2011, 04h30

j'ai envie de répondre : n'importe quel espace vectoriel que tu connais, sans préciser que tu lui donnes une norme.

invite4f9ef38e · 07/04/2011, 11h17

est-ce que ca veut dire qu'on peut definir une norme sur n'importe quel espace vectoriel et donc que tout les espaces vectoriel sont des espaces metriques?

invitea0db811c · 07/04/2011, 12h30

Avec le lemme de Zorn, on peut montrer que tout espace vectoriel peut-être munit d'une norme...

Néanmoins, celà ne veut absolument pas dire que toute topologie sur un espace vectoriel est issu d'une norme (exemple l'espace des fonctions holomorphe sur un ouvert munit de la topologie de la convergence sur les compacts, qui est métrique mais pas normé)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite4f9ef38e · 07/04/2011, 12h46

Merci pour votre aide.

invite0a963149 · 07/04/2011, 13h48

Ben oui a peu près tout les EV peuvent être normés, sauf que pour certains, on peut pas leur trouver de "formule" explicite.

Et j'ajouterai que si l'espace est de dimension finie on peut lui trouver une infinité de normes équivalentes (a mon humble avis)

invitea0db811c · 08/04/2011, 13h35

Je ne crois pas que l'on puisse construire explicitement une norme pour tout ev, lemme de Zorn tout ça tout ça...

Pour la preuve il faut considérer l'ensemble { (F,N) | F sous ev de E, N est une norme sur F}. On ordonne cet ensemble comme suit :

(F,N) < (F',N') <=> F est inclu dans F' et la restriction de N' à F est N.

On montre que tout ça vérifie les hypothèse du lemme de Zorn et on montre qu'un élément maximal est bien de la forme (E,N) par l'absurde.

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