exercice de polynome ;)

[invited633afae]

voila un exercice qui m a vrement dérangé!! :triste:
soit E=R3[X] et f l'application definie par:
p appartient a E ; f(P)=Q ; defini par : quelque soit x apartient à R
Q(x)= xP(x+1)-(x+1) p(x)
1)montrer que f appartient à d(E)
2)determiner Ker(f) et Im(f)
3) f est il un automorphisme de E
avec les polynomes c est un peu difficile
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[inviteaf1870ed]

1-C'est quoi d(E) ?
2-Kerf c'est l'ensemble des polynomes P tels que f(P)=0
3-Si f est un automorphisme, cela signifie que f est bijective. On est en dimension finie, donc c'est équivalent à f injective.

Pour comprendre ce que "fait" f, essaye de voir son action sur des polynomes simples...

[NicoEnac]

Bonjour,

J'ai bien peur que d(E) ne représente l'ensemble des applications de E->E qui ont certaines propriétés... Dans ce cas, un simple coup d'oeil sur le degré de Q en fonction de celui de P permet d'y répondre...

[invited633afae]

bonjour,
merci de vos réponses mais j ai po vrèment compris ce que vous voulez dire NICOENAC!! et c est cetteb question que je n arrive po a rédiger !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

1-C'est quoi d(E) ?

Commence par répondre à ericcc

[invited633afae]

bonsoir,
desolé pour ne pas répondre à ta question ericc !
bon, la notation d(E) ça veut dire que f est une application linéaire. en tous cas j ai fait la 1ere question
mais en ce qui conserne la 2eme question pouvez vous m aider voila ce que j ai fait :
f(p)=0 =>Q(x)=0
=> xP(x+1)-(x+1)P(x)=0
là j ai pris p(x) =ax3+bx2+cx+d et P(x+1)=a(x+1)3........ et j ai remplacé
j sais pas si c est vrai car j ne suis arrivé à rien .

[NicoEnac]

Re,

OK pour la première question, tu as du montrer que f est linéaire.
Pour la seconde, tu as cherché les polynômes P € E tels que f(P) = 0 (sous-entendu 0 = polynôme nul).
Donc tu as trouvé que X.P(X+1) - (X+1).P(X) = 0
Ceci étant valable quel que soit X, que peut-on dire de P(0) ?
Ensuite, que peut-on dire de P(2) par rapport à P(1) ?
Que peut-on dire de P(3) par rapport à P(2) donc par rapport à P(1) ?
En généralisant, que peut-on dire de P(n) par rapport à P(n) ?

Il n'existe qu'un seul polyôme de degré 3 qui satisfasse à cette propriété.

[invited633afae]

salut!
bon j ai vrement pas compris ce que vous vouler dire mais jai fait ce que t as dit : et j ai trouver p(0)=o; p(2)=2 p(1)
p(3)=3p(1) ; p(4)=4p(1) ........... et si on generalise ça donne p(n)=np(1)
{Il n'existe qu'un seul polyôme de degré 3 qui satisfasse à cette propriété } ???? j ai pas compris !! pouver vous m expliquez plus !

[NicoEnac]

P(0) = 0 => OK
P(n) = n.P(1) => OK

Ensuite, posons P(X) = a.X³ + b.X² + c.X + d
P(0) = 0 => d = 0
P(1) = a+b+c
P(n) = a.n³+b.n²+cn mais P(n) = n.P(1) = n.(a+b+c)
=> a.n³+b.n²+cn = n.(a+b+c) => a.n²+b.n+c = a+b+c => n.(an+b) = a+b et ceci quel que soit n entier >0.

On en conclut que a = 0 et b = 0.
Donc Ker(f) = {P € E \ P(X) = c.X, c € R}