Exercice Polynôme

[inviteedb947f2]

Determiner tous les P dans R[X] tel que :

(X+4)P(X) = XP(X+1)

Je vois pas par quel bout commencer, des idées ?

Merci d'avance.
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[invitec053041c]

Bonjour.

Tu peux déjà déterminer 2 racines de P par exemple...

[inviteb0df2270]

Comme l'a dit Ledescat, tu peux déterminer 2 racines de P, ce qui te permet de factoriser P. Tu remplaces P par l'expression obtenue ( (X-a)(X-b)Q(X) ) dans l'équation et tu trouves une équation de Q, avec laquelle tu détermines deux nouvelles racines. Tu factorises à nouveau, ce qui te permet d'écrire

P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)R(X)

Tu remplaces à nouveau dans l'équation et tu trouveras une équation beaucoup plus simple, dont tu connais la solution j'espère Et à partir de là tu auras déterminé toutes les solutions.

[invitea3eb043e]

On peut d'emblée trouver les 4 racines en faisant successivement :
X=0 donne P(0) = 0
X=-4 donne P(-3) = 0
et on exploite ces 2 racines :
X+1 = 0 donne P(-1) = P(0) = 0
X+1 = -3 donne P(-4) = 0
Le reste comme dit Theyggdrazil.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb947f2]

Merci beaucoup, je vois qu'il me manque encore certains "automatisme" avec les polynômes...

Encore merci

[invitec053041c]

Les automatismes à ne jamais oublier c'est: degré et racines.

Avec ça on s'en sort à 75% .

[inviteb0df2270]

Et dériver !

[inviteedb947f2]

Oui en effet, d'habitude je pense toujours au degré en tout premier lorsque j'ai un polynome en face de moi, mais j'ai oublier la racine...

En fait, je me suis enfin rendu compte que pour un "grand" nombre d'exercice, une simple rigeur de pensé suffit à le résoudre en grande partie. Et ce cas illustre encore parfaitement.

On a des polynômes : degré, racine, décomposition... (Ce qui en plus respecte le sens de raisonnement de la construction des polynomes).
Le fait de se poser ces 3 questions resoud deja la quasi totalité de l'exos, il faut donc apprendre à ce poser les bonnes questions...

Et j'y travail

Encore merci !