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exercice polynome complexe



  1. #1
    benoist

    exercice polynome complexe


    ------

    bonjour je bloque sur une question d un exercice
    Soit P(X)=X^3 + pX^2 + qX + r ou les zeros sont a,b,c

    1) calculer a^2 + b^2 + c^2 en fonction de p q r
    2)calculer (bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2 en fonction de p q r
    3)determiner p , q , r pour que les zeros de P soit a^2 , b^2 et c^2
    en deduire la liste des polynomes P et montrer qu il verifie P(X^2)=-P(X)P(-X)
    4)parmis les polynomes P on note F et G les 2 polynomes qui ne sont pas à coefficient complexe. Calculer le produit FG et trouver les zeros de chacun de ces polynomes

    voila mes reponses:
    1)a+b+c)²=p²=a²+b²+c²+2(ab+ac+ bc) d'ou

    a²+b²+c²=p²-2q.

    2)Soit -(a+b+c)=p
    (ab+ac+bc)=q
    -abc=r
    (ab+bc+ca)²=q²=((ab+bc)+ca)²=( ab)²+(bc)²+2ab²c+(ca)²+2ca²b+2 c²ab=(ab)²+(ca)²+(bc)²+2abc(a+ b+c)=(ab)²+(ca)²+(bc)²+2pr

    3)si les zeros de P sont a^2 , b^2 et c^2 alors
    P(X) = (X-a²)(X-b²)(X-c²) = X3 - (a²+b²+c²)X² + [(ab)²+(bc)²+(ca)²]X - (abc)²
    et l on identifie à l'aide des résultats précédents en se servant du fait que a b c prenne comme valeur soit 1 ou 0 (car si a^2 , b^2 et c^2
    sont zeros alors forcement a^2=a...)
    et on verifie P(X)P(-X)=-X6+(p²-2q)X4-(q²-2pr)X²+r²=P(X^2)

    seulement je dois avoir une erreur a un endrois je ne trouve pas deux polynomes a coefficient complexe ?Comment puis je trouver ces deux polynomes et faire par la suite la question 4

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : exercice polynome complexe

    Attention tu peux avoir a²=b b²=c c²=a par exemple.
    Le polynome X(X²+X+1) répond au problème

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