Polynome complexe

[invite45e9edca]

Bonjour alors j'aurais besoin d'un petit coupde main pour une question de mon DM qui me bloque.

J'ai une équation (E) de la forme P(x)=0

où P(x)=x^4+2ax^3+bx²+2ax+1

je ne sais pas si ca peut servir pour cette question, mais j'ai deja montré precedement que on avait aussi

P(x)=x²(u²+2au+b-2) ou u=x+(1/x)

J'essaye (sans résultat lol) de montrer que si l'équation (E) a une solution non réelle de module 1, alors il y a 2 possibilités :
-soit (E) admet 3 autres solutions de module1
-soit (E) admet une autre solution de module 1 et deux solutions réelles inverses


si qqun peut me donner une piste, ou un coup de main, ce serait très sympa
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[erff]

Bonjour,
Indice : Soit x une solution de module 1 alors 1/x=x* (conjugué de x)
donc en se servant de ce que tu as démontré avant on a : u=x+1/x est un reel...donc u²+2au+b-2 admet une solution reelle donc admet 2 solutions reelles (je suppose que a et b sont des reels ???) éventuellement confondues...

[invite45e9edca]

Bonjour,
Indice : Soit x une solution de module 1 alors 1/x=x* (conjugué de x)
donc en se servant de ce que tu as démontré avant on a : u=x+1/x est un reel...donc u²+2au+b-2 admet une solution reelle donc admet 2 solutions reelles (je suppose que a et b sont des reels ???) éventuellement confondues...

en fait je comprend pas beaucoup plus

si x est de module 1, on trouve comme solution
x
1/x
et x*+x (qui vient de )1/x + x) ou de (1/x* + x*)

?? c'est surement faux, mais je comprends pas ....

[erff]

Regarde bien les infos que tu as :

-Soit r une solution de module 1 alors vu que P(x)=x²(u²+2au+b-2) alors on en déduit que P(r)=0 donc que (u²+2au+b-2)=0 (en prenant u=r+1/r)

C'est à dire que le polynome u²+2au+b-2 admet une solution qui est r+1/r
Or on constate que r+1/r est un reel puisque r est de module 1 c'est à dire que le polynme u²+2au+b-2 admet une solution reelle que l'on note r1 (qui n'est autre que r+1/r)

on a donc r+1/r = r1 (quelle que soit la solution de module 1)
on constate par symétrique que si r vérifie ceci alors 1/r aussi (qui est un complexe de module 1).
Donc on est sûr que si on a une racine de module 1 non reelle alors on a une autre racine de module 1....

Pour chercher les autres racines, il faut utiliser le fait que le polynome u²+2au+b-2 admet une autre racine reelle (éventuellement la meme que tout à l'heure)...Je te laisse continuer

PS : n'oublie pas les justifications et la rigueur que j'ai négligée ici.

Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite45e9edca]

Regarde bien les infos que tu as :

-Soit r une solution de module 1 alors vu que P(x)=x²(u²+2au+b-2) alors on en déduit que P(r)=0 donc que (u²+2au+b-2)=0 (en prenant u=r+1/r)

C'est à dire que le polynome u²+2au+b-2 admet une solution qui est r+1/r
Or on constate que r+1/r est un reel puisque r est de module 1 c'est à dire que le polynme u²+2au+b-2 admet une solution reelle que l'on note r1 (qui n'est autre que r+1/r)

on a donc r+1/r = r1 (quelle que soit la solution de module 1)
on constate par symétrique que si r vérifie ceci alors 1/r aussi (qui est un complexe de module 1).
Donc on est sûr que si on a une racine de module 1 non reelle alors on a une autre racine de module 1....

Pour chercher les autres racines, il faut utiliser le fait que le polynome u²+2au+b-2 admet une autre racine reelle (éventuellement la meme que tout à l'heure)...Je te laisse continuer

PS : n'oublie pas les justifications et la rigueur que j'ai négligée ici.

Bon courage

oké, merci beaucoup, je vois un peu plus clair deja ...
et pas de problème pour la rigueur lol, j'aime pas perdre des points betement