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Polynome complexe



  1. #1
    Armellle

    Polynome complexe

    Bonjour alors j'aurais besoin d'un petit coupde main pour une question de mon DM qui me bloque.

    J'ai une équation (E) de la forme P(x)=0

    où P(x)=x^4+2ax^3+bx²+2ax+1

    je ne sais pas si ca peut servir pour cette question, mais j'ai deja montré precedement que on avait aussi

    P(x)=x²(u²+2au+b-2) ou u=x+(1/x)

    J'essaye (sans résultat lol) de montrer que si l'équation (E) a une solution non réelle de module 1, alors il y a 2 possibilités :
    -soit (E) admet 3 autres solutions de module1
    -soit (E) admet une autre solution de module 1 et deux solutions réelles inverses


    si qqun peut me donner une piste, ou un coup de main, ce serait très sympa

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    erff

    Re : Polynome complexe

    Bonjour,
    Indice : Soit x une solution de module 1 alors 1/x=x* (conjugué de x)
    donc en se servant de ce que tu as démontré avant on a : u=x+1/x est un reel...donc u²+2au+b-2 admet une solution reelle donc admet 2 solutions reelles (je suppose que a et b sont des reels ???) éventuellement confondues...

  4. #3
    Armellle

    Re : Polynome complexe

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Bonjour,
    Indice : Soit x une solution de module 1 alors 1/x=x* (conjugué de x)
    donc en se servant de ce que tu as démontré avant on a : u=x+1/x est un reel...donc u²+2au+b-2 admet une solution reelle donc admet 2 solutions reelles (je suppose que a et b sont des reels ???) éventuellement confondues...
    en fait je comprend pas beaucoup plus

    si x est de module 1, on trouve comme solution
    x
    1/x
    et x*+x (qui vient de )1/x + x) ou de (1/x* + x*)

    ?? c'est surement faux, mais je comprends pas ....

  5. #4
    erff

    Re : Polynome complexe

    Regarde bien les infos que tu as :

    -Soit r une solution de module 1 alors vu que P(x)=x²(u²+2au+b-2) alors on en déduit que P(r)=0 donc que (u²+2au+b-2)=0 (en prenant u=r+1/r)

    C'est à dire que le polynome u²+2au+b-2 admet une solution qui est r+1/r
    Or on constate que r+1/r est un reel puisque r est de module 1 c'est à dire que le polynme u²+2au+b-2 admet une solution reelle que l'on note r1 (qui n'est autre que r+1/r)

    on a donc r+1/r = r1 (quelle que soit la solution de module 1)
    on constate par symétrique que si r vérifie ceci alors 1/r aussi (qui est un complexe de module 1).
    Donc on est sûr que si on a une racine de module 1 non reelle alors on a une autre racine de module 1....

    Pour chercher les autres racines, il faut utiliser le fait que le polynome u²+2au+b-2 admet une autre racine reelle (éventuellement la meme que tout à l'heure)...Je te laisse continuer

    PS : n'oublie pas les justifications et la rigueur que j'ai négligée ici.

    Bon courage

  6. #5
    Armellle

    Re : Polynome complexe

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Regarde bien les infos que tu as :

    -Soit r une solution de module 1 alors vu que P(x)=x²(u²+2au+b-2) alors on en déduit que P(r)=0 donc que (u²+2au+b-2)=0 (en prenant u=r+1/r)

    C'est à dire que le polynome u²+2au+b-2 admet une solution qui est r+1/r
    Or on constate que r+1/r est un reel puisque r est de module 1 c'est à dire que le polynme u²+2au+b-2 admet une solution reelle que l'on note r1 (qui n'est autre que r+1/r)

    on a donc r+1/r = r1 (quelle que soit la solution de module 1)
    on constate par symétrique que si r vérifie ceci alors 1/r aussi (qui est un complexe de module 1).
    Donc on est sûr que si on a une racine de module 1 non reelle alors on a une autre racine de module 1....

    Pour chercher les autres racines, il faut utiliser le fait que le polynome u²+2au+b-2 admet une autre racine reelle (éventuellement la meme que tout à l'heure)...Je te laisse continuer

    PS : n'oublie pas les justifications et la rigueur que j'ai négligée ici.

    Bon courage
    oké, merci beaucoup, je vois un peu plus clair deja ...
    et pas de problème pour la rigueur lol, j'aime pas perdre des points betement

  7. A voir en vidéo sur Futura

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