Intégrale de x*Arctan(x)

[charlie18]

Bonjour tout le monde !

Dans un exercice, il est demandé de calculer l'intégrale de x*Arctan(x) dx en utilisant l'intégration par partie (l'intégrale est bien donnée sans bornes).
J'ai donc posé u(x) = Artan(x) et v'(x)=x.
Et donc u'(x)= 1/(1+x²) et v(x) = x²/2
Cependant, je me trouve bloqué à la prochaine étape.
Je noterai int( ) pour le symbole de l'intégrale.
On sait que int (u(x)*v'(x) dx) = [u(x)*v(x)] - int (u'(x)*vx) dx)
En utilisant cette formule d'intégration par partie, je me retrouve avec l'égalité suivante :
int (xArctan(x)dx) = [Arctan(x)*x²/2] - int(x²/(2*(1+x²)))
Je me trouve coincée pour la seconde integration...
Est-ce la bonne méthode ?
Si oui, comment puis-je continuer ?

Merci beaucoup d'avance !
Bonne journée !

Charlie18.
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[invite7b17f543]

Ce ne doit pas être la bonne méthode. Attends, je vais voir mon cours

[deyni]

Ce qui te bloque, c'est:
L'intégrale de x^2/(2*(1+x²))?

[invite7b17f543]

Tu peut déjà sortir le "1/2"

[A voir en vidéo sur Futura]

[deyni]

J'aurai fait, une 2eme IPP:

int (u(x)*v'(x) dx) = [u(x)*v(x)] - int (u'(x)*vx) dx)

u(x)=x^2/2; v'(x)=1/(1+x^2)
u'(x)=x; v(x)=arctan(x).

Donc, le resultat, de ta 2eme integrale est:
-1/2(x-arctan(x))

[charlie18]

J'aurai fait, une 2eme IPP:

int (u(x)*v'(x) dx) = [u(x)*v(x)] - int (u'(x)*vx) dx)

u(x)=x^2/2; v'(x)=1/(1+x^2)
u'(x)=x; v(x)=arctan(x).

Donc, le resultat, de ta 2eme integrale est:
-1/2(x-arctan(x))

Ne serait-ce pas plutôt -1/2 (x*Arctan(x)) ? Puisque c'est u'*v

[charlie18]

Il faudrait donc refaire une 3eme IPP après celle-ci ?

[God's Breath]

L'intégrale de x^2/(2*(1+x²))?

IL faudrait apprendre les techniques élémentaires du calcul des primitives :

[charlie18]

Encore faut-il y penser...

Avec ta méthode God's Breath, j'obtiens le résultat suivant :

int (x*Arctan(x)dx) = 1/2 * [x²Arctan(x)] - 1/2 (x-Arctan(x))

J'ai une autre question. Quand on demande une intégration par partie sans bornes, ne faut-il pas plutôt écrire : int (x*Arctan(x)dx) = 1/2 * (x²Arctan(x)) - 1/2 (x-Arctan(x)) soit int (x*Arctan(x)dx) = 1/2 * (x²Arctan(x)-x+Arctan(x)) ?

[ericcc]

On peut aussi calculer la primitive de Atan(x), c'est facile par IPP, puis faire l'IPP de xAtanx dans l'autre sens : u'=atan(x) v=x.
C'est peut être plus rapide...

[charlie18]

Merci beaucoup à tout le monde pour votre aide !

Bonne journée ! =)

[breukin]

Il ne s'agit pas d'y penser, il s'agit de la réduction des fractions rationnelles en éléments irréductibles.