Zeros isolés d'une fonction analytique : démonstration

[invite42f885fe]

Bonjour,

Je bloque sur la démonstration des zéros isolés d'une fonction analytique.

Que si la fonction soit nulle sur un voisinage d'un point (donc sur un ouvert contenant ce point) implique qu'elle soit nulle partout, pas de problème.

Mais si la fonction est nulle simplement sur un chemin ?
Les zéros ne sont pas isolés : l'intersection de tout disque contenant ce zéro avec le chemin n'est pas nulle, donc contient d'autres zéros de f...

Vous voyez d'où viens mon problème ?

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Au voisinage de d'un point a, une fonction analytique est de la forme f(x)=(x-a)ⁿg(x) avec n entier, g continue et g(a) non nul.
Le seul zéro possible de f sur ce voisinage est a lui-même lorsque n est non nul.