équations différentielles

[invitee70109e2]

bonsoir aidez moi à résoudre cet exo


Un médicament administré par voie intraveineuse est éliminé par filtration rénal.On suppose que la durée de l'injection est négligeable, donc à t=0 toute la quantité de médicament injectée (notée ) est passée dans le sang. Si la vitesse d'élimination du médicament dans les reins est proportionnelle à la quantité de médicament présente dans le sang, calculer la quantité de médicament dans le sang en fonction du temps.
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[invite7265fdfc]

Bonsoir,

soit q(t) la quantité de médicament (c'est une fonction du temps t)

q(t) diminue avec t donc dq/dt est négatif
(dq/dt est la vitesse d'élimination)

d'autre part , cette vitesse est proportionnelle à q

donc q(t) vérifie l'équa diff :
{dq/dt = a.q (avec a réel négatif)
{ q(0)= Qo (condition initiale)

On montre que les équa diff de ce type (y' = ay, comme la noteraient les matheux) ont pour solutions les fonctions f(x)=k.e^(ax) (k réel quelconque)

Donc notre équa diff a pour solution:
q(t) = k.e^(at)
comme on a q(0)=Qo, k = Qo
Donc q(t) = Qo.e^(at) comme a est <0, c'est bien une fonction décroissante de t)

Mais que vaut a ?

[invitee70109e2]

merci chlorydrique!!!