Opérations élémentaires sur les matrices d'endomorphismes

[invitec3143530]

Bonjour,

J'ai quelques questions à propos des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes d'une matrice.

Il est évident que les opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice ne modifient pas l'image de l'endomorphisme f associé (car Imf est égale à Vect(les colonnes). Mais qu'en est-il de ker f ?


De même les opérations élémentaires sur les lignes ne modifient pas ker f (car les solutions du système d'équations Ax=0 ne changent pas avec des opérations élémentaires sur les lignes) mais qu'en est-il de Imf ?

Voilà merci
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[invitefa064e43]

aslut, tu devrais essayer de te faire des exemples pour vérifier.

au cas où c'est faux, tu devras vite trouver un contre-exemple, sinon on verra

[sylvainc2]

Les opérations élémentaires sont linéaires alors on peut les écrire sous forme d'une matrice, qui est inversible en plus. On peut toutes les regrouper en les multipliant dans le bon ordre pour avoir une seule matrice G inversible.

Pour les opérations sur les colonnes, c'est multiplier A par G à droite: AG. On a effectivement Im(AG)=Im(A) car chaque colonne de AG est dans ce cas une combinaison linéaire des colonnes de A. Pour ker(A): si la colonne i de AG est nulle (AG_i=0) alors par définition G_i est dans ker(A) et comme toutes les colonnes de G sont libres, toutes ces G_i sont aussi libres et forment une base de ker(A).

Pour les opérations sur les lignes, on multiplie à gauche: GA. Si Ax = 0 alors GAx = 0 aussi car G inversible. Pour Im(A), il faut faire attention: on n'a pas toujours Im(GA)=Im(A), cependant les opérations sur les lignes ne changent pas la relation de dépendance linéaire entre les colonnes de A (facile à prouver), alors pour chaque colonne libre de GA la colonne correspondante de A est aussi libre.