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problème de moyenne



  1. #1
    damius

    problème de moyenne


    ------

    Bonjour tout le monde, j'ai depuis quelques temps un problème qui me court dans la tête, je vais essayer de l'énoncer clairement:
    Vous prenez un dé ayant 20 faces. Quand vous le tirez vous comprenez aisément que le résultat qu'on peut obtenir peut aller de 1 à 20 et que la moyenne se situe a 10,5.
    La ou les choses se compliquent c'est quand on relance, qu'on fait 10 et qu'on aditionne le résultat à ce 10. Ex: je fais 10, je relance, je fais 15, ce qui me donne 25. Bien sur, si on refait 10, on relance encore et on peut aller a + infini avec infiniment de chance.
    Ensuite, on suit le même raisonnement pour les 20 (je relance après un 20 et j'aditionne à 20). La aussi on peut aller à + infini "deux fois plus rapidement" (même si ça veut rien dire je sais lol).
    Pour finir, on combine les 2, c'est à dire qu'on relance sur 10 et 20.
    Ma question est la suivante: Peut-on déterminer une moyenne aux résultats d'un dé subissant ces règles?
    Je pense qu'on ne peut arriver à la déterminer avec précision puisque les décimales seraient infinies. Si vous pouviez m'aider à trouver la moyenne au centième voire au millième je vous en serais très reconnaissant.

    J'ai déja commencé des "recherches" là dessus, je vous les exposerais après vos messages car ça commence à faire un peu lon la lol.

    MERCI!!!

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : problème de moyenne

    C'est un défi pour moi ça

    Qu'on soit bien clair sur la question :
    -Tu prends un dé à 20 faces, tu lances.
    Si tu fais 10 ou 20 tu relances et tu additionnes le résultat. Tu continues...
    (la proba que tu t'arrêtes est clairement de 1)
    La question que tu poses est : quelle est la moyenne des sommes obtenues ?

    Si c'est bien ça je m'y attaque
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    damius

    Re : problème de moyenne

    Tu as tout compris.

  4. #4
    invité576543
    Invité

    Re : problème de moyenne

    L'espérance du premier coup est de 10.5

    Celle du deuxième est de 1/20(10.5), en comptant 0 pour les cas sans deuxième coup.

    Celle du nième coup est (1/20)n-1(10.5)

    La somme est 10.5/(1-1/20) =11.0526...

    Ce qui très marrant, et contre-intuitif, c'est que cela ne dépend pas de la valeur 2, 10 ou 20 choisie!!!

    Cordialement,

    Michel

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    damius

    Re : problème de moyenne

    ok mmy mais je crois que tu n'as pas pris en compte qu'on relance aussi sur un 20. Peut-être que je me trompe mais bon voila une théorie d'un autre forum:


    "Si je comprends bien, dans un cas sur 10 (un 10 ou un 20), on recommence et on ajoute le nouveau resultat avant de calculer la moyenne.

    Quand on fait ce deuxieme tirage, on est avec les memes regles qu'au premier, donc la moyenne attendue est la meme que pour le premier.

    M = 10.5 + 1/10 . M
    M = 105/9 = 11.66666...."


    Qu'en pensez-vous?

  7. #6
    yat

    Re : problème de moyenne

    Soit N le nombre de lancers consécutifs qui ont obtenu un 10 ou un 20.
    La probabilité de tirer au moins N fois un 10 ou 20 est 1/10N. La probabilité de s'arréter juste après N est 9/10.
    La probabilité d'avoir tire exactement N fois de suite un 10 ou un 20 est donc P(N)=9/10N+1

    Sachant que l'on a tiré exactement N fois de suite un 10 ou un 20, l'espérance de la somme de cette séquence de 10 ou de 20 est 15N. On ajoute à cela le dernier tirage, qui n'a donné ni un 10 ni un 20, et qui a par conséquent une espérance de 10. L'espérance du score final sachant que l'on a eu exactement N fois un 10 ou 20 est donc E(N)=15N+10.

    L'espérance globale du score à ce jeu est donc la somme pour N allant de 0 à l'infini de P(N)*E(N). Un petit coup d'excel permet de constater que ça converge très rapidement vers 35/3, soit environ 11.66666.....

    Cool, j'obtiens la même réponse que toi.
    Ca tombe bien, ton raisonnement est éblouissant de simplicité et de bon sens.

  8. #7
    GuYem

    Re : problème de moyenne

    Aprés des calculs avec des considérations stochastiques et compagnie je (nous plutôt, merci à lui) trouve un résultat qui ressemble un max au tien mmy!

    A savoir que l'espérance de la somme que tu obtiens ne dépend pas des lancers sur lesquels tu continues le jeu : si tu relances sur un résultat de 1 ou 2 tu obtiens la même moyenne pour la somme que si tu relances sur 10 ou 20.

    Cette espérance est calculable et vaut :


  9. #8
    yat

    Re : problème de moyenne

    C'est un peu moins immédiat à déduire pour moi, mais en refaisant le calcul avec des rêgles différentes (en l'occurence, on relance sur les 2 et les 4), j'obtiens effectivement exactement le même résultat.

  10. #9
    invité576543
    Invité

    Re : problème de moyenne

    Citation Envoyé par damius
    ok mmy mais je crois que tu n'as pas pris en compte qu'on relance aussi sur un 20.
    J'ai très bien compris, le poste pose trois problèmes, et je n'ai répondu qu'aux deux premiers. Le troisième s'en déduit...

    Cordialement,

    Edit: Ou du moins, relis ton poste, tu verras qu'on peut l'interpréter comme cela...
    Dernière modification par invité576543 ; 13/10/2005 à 17h47.

  11. #10
    GuYem

    Re : problème de moyenne

    Je ne peux qu'applaudir la métohe simplissime de Yat et celle de mmy.
    Nous et nos gros théorèmes de martingale à coté on a l'air de bulldozers :s
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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