Estimateur du maximum de vraisemblance

[invite3f70cd5a]

Bonjour, voila plusieurs jours que j'essaie de résoudre un probleme qui, j'en suis sur, va vous paraitre tout simple... Étant assez désespéré j'espère que je voudrez bien m'aider, merci d'avance...

Énoncée:
Soit X une variable aléatoire continue de densité sur [0; +infini]

1) Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de u
2) Si n est grand quelle est la loi de 3x (en fait c'est x barre, la moyenne d'échantillonnage)

Donc voila mes calculs:

1) Je calcule la fonction de fréquence jointe et je trouve:




NB: Pareil ici (xn) c'est (x barre)*n... L'astuce utilisée est que la somme des xi est égale à la moyenne d'échantillonage*n.


Apres je calcul la fonction de vraisemblance:



Je la passe sous ln:



J'égalise la dérivée à zéro:


<=>


Ce qui me donne à la fin



Et la je ne sais plus quoi faire, je ne sais pas non plus si c'est juste... J'aimerais savoir si mon estimateur est biaisé ou non...
Merci de votre aide à tous...

PS: J'ai essayé de faire ce que je pouvais avec le "TEX"
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[inviteae18d553]

Tu as une erreur dans ta dérivée,


pour rappel (ln(x))'=1/x * x'

Donc ln(3/O) à dériver selon O, ça te donne O/3 * -3/O^2 = -1/O, et pas juste O comme tu as trouvé.

Je note aussi que tu dérives -3/O*x_barre*n en une quantité étrange, moi je trouve +3/O^2 * x_barre * n

Au final avec cette correction, je trouve que ton estimateur de max de vraisemplace de u est 3x_barre et non pas 3x_barre^1/3

Pour vérifier s'il est biaisé, tu calcules l'espérance de cet estimateur et tu vérifies que ça vaut bien u. L'espérance de ton estimateur vaut 3 fois la moyenne de la variable aléatoire X, l'enjeu est donc de calculer la moyenne de X. Si elle faut u/3, alors ton estimateur sera non-biaisé. Je note toutefois que les estimateurs de max vrais sont souvent biaisés, donc ça m'étonnerait que tu trouves u/3.

Bon courage !

[inviteae18d553]

Je pense que ce qu'il veut dire c'est que tu n'es d'aucune aide à celui qui a posé la question initiale. Il y avait une faute dans sa dérivée et il aura sans doute besoin d'un peu de soutien pour calculer l'espérance. Voilà son problème.

Toi tu lui as balancé des concepts mathématiques que même moi qui étudie la statistique depuis trois ans je ne comprends rien de ton message -_-' En quoi ça l'aide à faire sa dérivée et à comprendre c'est quoi un estimateur biaisé au juste que : "grâce à la propriété de Bichto et de Misto (plus communément connue sous le nom "propriété des frères O" ) tu peux déterminer cet ensemble sur la norme conjonctive et méridienne suivante" ?

C'est tellement énorme comme réponse, on dirait une blague Si un enfant te demande comment faire une addition, tu lui fais un long discours sur la relativité générale sans doute ?