Disque = ensemble de cercles ?

['Jey]

Bonsoir,

Le disque unité fermé est-il la réunion de tous les cercles dont les rayons sont compris au sens large entre 0 et 1 ?
Comment ce résultat intuitif se démontre-il ? Je ne sais pas trop de quelle définition partir...

Merci !
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,
Notons d la distance, D(A,R) le disque fermé de centre A et de rayon R et avec C(A,r) le cercle de centre A et de rayon r

on a donc car donc

Réciproquement

(vrai car [0,R] est compact) tel que alors donc donc

Donc l'égalité.

RoBeRTo

[Tiky]

Pourquoi as-tu besoin de la compacité de [0, R] dans ta réciproque ? Si x appartient à l'union, il appartient nécessairement à au moins un des ensembles ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Je ne sais plus trop là, peut-être inutile en effet...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39876]

Salut^^
Il me semble meme que c'est un fibré en cercle sur [0,1]
Julia.

[chlorydrique]

Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est inclus dans B et B est inclus dans A.

Donc ssi et

ssi pour tout i,

ssi pour tout x appartenant à A, il existe i tel que

soit D ={M, AM <=R}
C(A,r) = {M, AM = r} (r compris entre 0 et R)

Pour montrer que le disque D est l'union des cercles C(A,r), il faut et il suffit , d'après le rappel ensembliste qui précède, montrer que chaque cercle est inclus dans le disque et que chaque point du disque appartient à un des cercles.

Or tout point d'un cercle de rayon r <=1 est situé à une distance au centre <= 1, donc appartient au disque D.
Et tout point M du disque étant situé à une distance au centre r <=R , appartient au cercle C(a,r).
On a donc démontré que D = U C(A,r) (avec r appartient à [0,r])