Définition d'une isométrie

[invite97a526b6]

Bonjour,

Dans les dictionnaires de mathématique, une isométrie est définie comme une bijection conservant la distance, c'est à dire un isomorphisme d'espaces métriques.

Dans mon cours sur les espaces fonctionnels, il est fait état d'isométrie seulement injective, donc non nécessairement bijective. Il semble implicitement que la définition d'une isométrie soit seulement la conservation de la distance et non la bijectivité dans ce cours.

Ma question: Quelle est la vraie définition d'une isométrie ?

Merci pour réponses.
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[Tiky]

Dans mon cours, on appelle application isométrique ou injection isométrique une application de vers telle que .

Une isométrie est alors une bijection isométrique.

[invite97a526b6]

Dans mon cours, on appelle application isométrique ou injection isométrique une application de vers telle que .

Une isométrie est alors une bijection isométrique.

Merci de ta réponse. Pour prendre un exemple, je fais référence au théorème de Riesz sur la dualité tel qu'il est dans mon cours :

Le dual L^p* de L^p (L^p* = {formes linéaires continues sur L^p}) est isométrique à L^q avec 1/p + 1/q = 1.
Rappel : (E, T, m), espace mesuré; m est sigma-finie; L^p = {f: E -> K, K=R ou C, ||f||_p < infini}

L'isométrie J: L^q -> L^p* est-elle une bijection isométrique (c'est à dire une isométrie) ou seulement une application isométrique non bijective ?

Il me semble que J est une application isométrique linéaire seulement surjective... Donc ce n'est pas un isomorphisme d'espaces métriques et on ne devrait pas l'appeler isométrie ?

[invite986312212]

une isométrie est nécessairement injective.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

une isométrie est nécessairement injective.

Tout dépend justement de la définition que l'on prend pour isométrie.
Si isométrie veut dire que, seule, la norme est conservée dans l'image, alors il n'y a pas nécessairement injectivité:
Exemple R -> R, x -> |x| est une isométrie non injective

[invite986312212]

pour moi une isométrie est une application qui conserve les distances, i.e. d(x,y)=d(f(x),f(y)). L'application norme n'est pas une isométrie.

[Tiky]

pour moi une isométrie est une application qui conserve les distances, i.e. d(x,y)=d(f(x),f(y)). L'application norme n'est pas une isométrie.

Je suis du même avis. L'étymologie du terme ne laisse d'ailleurs aucun doute.

[invite97a526b6]

pour moi une isométrie est une application qui conserve les distances, i.e. d(x,y)=d(f(x),f(y)). L'application norme n'est pas une isométrie.

L'application norme sur R conserve la distance déduite de la norme:
x-y a pour image |x-y|, donc la distance de deux nombres dans la source et la distance image dans la cible sont bien identiques.
Donc l'application norme est bien une isométrie.

[invite97a526b6]

L'application norme sur R conserve la distance déduite de la norme:
x-y a pour image |x-y|, donc la distance de deux nombres dans la source et la distance image dans la cible sont bien identiques.
Donc l'application norme est bien une isométrie.

Autant pour moi, Ambrosio a raison, l'application norme n'est pas une isométrie:
x -> |x|, y ->|y| et |x-y| différent de ||x|-|y||.