0.9(...)=1 : qu'est ce que l'égalité ?

[invite8fabde6c]

Bonjour,

Bizarrerie mathématique qui peut choquer au départ, après quelques démonstrations, on a bien 0.9(...)=1. Bon voilà, on a l'égalité et après ?

Eh bien, faute d'avoir pu contredire les démonstrations que j'ai lues, la seule question qui me reste dans la tête est : "Mais qu'est-ce que l'égalité ?"

Bon au bout de quelques pages de blabla sur wikipédia, je n'ai toujours pas trouvé une réponse satisfaisante à une question qui peut paraître triviale : quand est-ce qu'on peut dire que deux réels sont égaux ?

Merci pour vos futures réponses, et désolé d'avoir ressorti (une énième fois ...) le bon vieil exemple du 0.9(...)=1
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[Amanuensis]

quand est-ce qu'on peut dire que deux réels sont égaux ?

C'est plutôt "Quand peut-on dire que deux expressions donnant un réel sont égales ?".

Sinon, c'est comme demander "Quand peut-on dire que deux personnes sont la même ?".

En gros, deux expressions réelles sont égales quand on peut remplacer l'une par l'autre dans toute assertion sans changer la "valeur de vérité" de l'assertion.

Médiat corrigera si nécessaire

[NicoEnac]

Bonjour,

Deux réels a et b (a<b) sont égaux ssi on ne peut trouver un troisième réel c tel que a < c < b. C'est ce qui m'est venu à l'esprit quand j'ai lu que 0.999...=1

[Médiat]

En gros, deux expressions réelles sont égales quand on peut remplacer l'une par l'autre dans toute assertion sans changer la "valeur de vérité" de l'assertion.

Médiat corrigera si nécessaire

Pas de problème, c'est bien la définition habituelle de l'égalité en logique .

Pour être plus générique, la définition complète (sans faire référence à un langage particulier) qui est en fait plutôt une méta-définition, inclut que la relation d'égalité est une relation d'équivalence, telle que "deux expressions sont égales quand on peut remplacer l'une par l'autre dans toute assertion sans changer la "valeur de vérité" de l'assertion."

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8fabde6c]

C'est bien ce que j'avais lu. En fait j'ai eu les deux versions, mais alors est ce qu'elles sont équivalentes ?

En fait, comment passer du fait que deux réels sont égaux si et ssi lorsque l'on remplace l'un par l'autre dans une assertion on ne change pas la "valeur de vérité" de l'assertion et que deux réels sont égaux si et ssi on ne peut pas trouver de réels compris entre ?

[invite986312212]

soient a et b deux réels. Si on peut trouver un réel c tel que a<c<b alors on a deux assertions "a<c" et "c<b" et si on essaie de remplacer a par b dans la première assertion on obtient une contradiction, et donc a et b n'étant pas interchangeables ils ne sont pas égaux. C'est un argument naïf qui n'a pas réellement valeur de preuve.

[Amanuensis]

C'est bien ce que j'avais lu. En fait j'ai eu les deux versions, mais alors est ce qu'elles sont équivalentes ?

Pour les réels...

La définition avec la notion de remplacement est générique, c'est valable pour tout ensemble.

Celle avec < demande de définir l'ordre total, et est plus une propriété de l'ordre qu'une propriété de l'égalité. Et en plus pas une propriété de n'importe quel ordre total (dans les entiers, il est impossible d'en mettre un entre 2 et 3, et pourtant ils ne sont pas égaux).

[invite322d4544]

Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre pourqoi cette égalité est "juste" pcq je crois qu'à la base le problème c'est ça:

A= 0.999...
10 A = 9.999...
10 A = 9 + A
10 A - A = 9
9 A = 9
A = 1
0.999... = 1

Sauf que le problème quand on multiplie par dix, l'infinité de neuf après la virgule sera réduit d'un 9 et on ne pourra plus dire que la troisième étape est juste...

Si quelqu'un pouvait m'expliquer...
Merci

[Amanuensis]

(...)

Pourquoi ne pas lire les 10 ou 20 ou plus discussions anciennes sur le sujet ? Elles sont faciles à trouver, et couvre le sujet dans tous les sens.

Il semble préférable de laisser cette discussion à son sujet principal, qui est la question "Qu'est-ce que l'égalité".

[invite8fabde6c]

@ N_ruda : y a quelques démonstrations, mais une plutôt rigoureuse et simple à comprendre est celle avec les séries.

@ Amanuensis : j'avoue avoir pensé changer d'ensemble, et en passant dans l'ensemble des entiers le coup du "on ne peut pas trouver d'élément entre" ne marche plus du tout, alors je voulais savoir ce qui faisait qu'on pouvait l'appliquer dans R. Merci pour la réponse

C'est fou quand même d'en arriver, après 2ans de prépa, à se poser cette question qui peut paraître un peu stupide au début ^^'

[Amanuensis]

alors je voulais savoir ce qui faisait qu'on pouvait l'appliquer dans R. Merci pour la réponse

C'est la notion d'ordre dense, un ordre total tel qu'on peut toujours trouver un élément entre deux éléments distincts. L'ordre usuel sur R ou Q est dense, ou encore l'ordre lexicographique sur l'ensemble des chaînes de caractères de taille finie (pour prendre un exemple moins numérique). Ce n'est pas le cas pour Z.

[invite8fabde6c]

Merci bien pour les détails, ça me paraît déjà beaucoup plus clair
Le problème de densité je le voyais arriver mais pas comme ça, je l'avoue. C'est toujours ça d'appris

[Amanuensis]

C'est la notion d'ordre dense(...)

J'ai conscience que ce n'est pas vraiment une réponse, c'est juste mettre une étiquette sur la propriété !

L'ordre est dense sur Q (et R) parce qu'on peut trouver un élément strictement positif aussi petit que l'on veut et que l'ordre est compatible avec la structure de corps. On peut mettre cela en relation avec le caractère archimédien (en prenant les 1/n).

Mais au fond, c'est juste un constat que l'ordre de Q ou R est dense.

EDIT : Croisement...

[invite8fabde6c]

Mais la notion d'ordre dense et une petite explication me suffisaient amplement (mais merci quand même pour la suite ^^). J'ai compris le principe donc ça me va
C'est juste qu'on avait vu la notion d'ordre total, et de densité mais pas celle d'ordre dense, mais après avoir lu ton explication c'est pas encore insurmontable ^^

[stefjm]

C'est fou quand même d'en arriver, après 2ans de prépa, à se poser cette question qui peut paraître un peu stupide au début ^^'

Nan, c'est normal et même plutôt rassurant!
Seul ceux qui ne comprennent rien ne se posent pas de questions.

[invite0a963149]

Ce truc, je suis pas du tout d'accord avec ...

C'est un peu comme dire que le 965145914591252125198512212122 196149221122122117214621459149 2121219126149291786544° rang de la suite (Un) (telle que pour tout n entier naturel, Un=1/n) est nul ...

Ben non ... certes ces deux nombres sont très proches, et pourtant tellement éloignés, puisque tu pourrais toujours trouvés une infinité de coquinous de nombres entre les deux !

C'est confondre une expression et sa limite.

Dans chacune des démonstrations qu'on m'a montré, il y a une approximation quelques part.

enfin ... je suis septique -_-

[b@z66]

Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre pourqoi cette égalité est "juste" pcq je crois qu'à la base le problème c'est ça:

A= 0.999...
10 A = 9.999...
10 A = 9 + A
10 A - A = 9
9 A = 9
A = 1
0.999... = 1

Sauf que le problème quand on multiplie par dix, l'infinité de neuf après la virgule sera réduit d'un 9 et on ne pourra plus dire que la troisième étape est juste...

Si quelqu'un pouvait m'expliquer...
Merci

La naïveté du raisonnement est là, de dire que: "l'infinité de neuf après la virgule sera réduit d'un 9 et on ne pourra plus dire que la troisième étape est juste...". L'infini est justement infini donc parler de l'infini+1, ça veut strictement rien dire. Plus précisément, l'erreur dans le raisonnement de 0.333...*3=0.999..., c'est d'essayer d'appliquer une méthode de multiplication valide pour les nombres avec un nombre de chiffres fini après à la virgule à des nombres qui ont par définition un nombre infini de chiffres significatifs! Quant on reprend à l'envers la division euclidienne de 1 divisé par 3, on se rend bien compte que le "reste", il faut bien s'en servir de toute façon!

PS: En passant, cette démonstration permet juste de faire s'auto-annuler l'effet de cette interrogation en faisant intervenir deux fois le 0.9999... Par contre, je ne vois pas en quoi les limites avec les séries permettraient de mieux démontrer "l'égalité"... Ce problème est en réalité, à mon avis, un faux-problème dès le départ.

[invite765732342432]

parler de l'infini+1, ça veut strictement rien dire.

L'un des intervenants de ce fil te dirait bien que l'infini+1 est une notation et que par conséquent elle existe et peut vouloir dire quelque chose

[invite8fabde6c]

Eh bien on peut écrire 0.9(...) à l'aide d'une série, et ensuite on factorise le 9, on a une bête somme d'une série qu'on arrive à calculer parce que c'est une progression géométrique de raison 1/10 et après, ben tout est fait. Et là si c'est naïf comme raisonnement ...

[b@z66]

L'un des intervenants de ce fil te dirait bien que l'infini+1 est une notation et que par conséquent elle existe et peut vouloir dire quelque chose

Effectivement, tu as raison. Par contre, pour ce qui est de son utilité, je la trouve assez "limitée"...

[Amanuensis]

L'un des intervenants de ce fil te dirait bien que l'infini+1 est une notation et que par conséquent elle existe et peut vouloir dire quelque chose

Je confirme, et même plus. En donnant un exemple précis.

La notation ω est utilisée pour l'ordinal de N, qui est un infini. ω+1 est utilisé pour noter un autre ordinal.

Le mot "infini" est un mot (ou un symbole) moins précis (il ne parle ni d'un ordinal ni d'un cardinal particulier, juste d'une propriété partagés par certaines ordinaux et cardinaux, ou est utilisé--en particulier le symbole--avec un sens dépendant du contexte), et cela permet aussi de défendre que "infini+1" n'a pas de sens précis. Mais si on prend, comme ci-dessus, une notation plus précise, l'addition de 1 à quelque chose d'infini peut avoir un sens.

je la trouve assez "limitée"

J'imagine aussi qu'un nomade du Kalahari illettré ne voit pas l'utilité de la notation 0.9999...

[invite8fabde6c]

Pour blablatitude : ben si t'avais lu ce qui avait suivi dans la discussion bien sûr que non on ne pourra pas dire que ce terme est nul, car le terme u(n+1) et compris entre u(n) et 0.

[invitec3143530]

Un nombre réel est la limite d'une suite de rationnels.

Deux réels sont donc égaux si les suites pour les construire ont même limite.

[b@z66]

Eh bien on peut écrire 0.9(...) à l'aide d'une série, et ensuite on factorise le 9, on a une bête somme d'une série qu'on arrive à calculer parce que c'est une progression géométrique de raison 1/10 et après, ben tout est fait. Et là si c'est naïf comme raisonnement ...

Je crois que le défaut de cette approche est justement, comme l'a fait remarquer un prédécesseur, de confondre terme de la série et limite de la série(qui ne sont jamais égal en l'occurrence). On démontre bien sûr que cette différence tend vers 0 mais, il n'en demeure pas moins, qu'elle n'est jamais 0. Le problème vient à mon sens de la "retenue" dans 0.333...*3=0.999... qui devrait se propager depuis les chiffres infiniment les moins significatifs et qui ne le fait pas tout simplement parce que cette opération est inconsciemment foireuse pour certains qui tentent d'appliquer une méthode de calcul uniquement valable pour des nombres avec un nombre de chiffres significatifs "fini". Si tu as une objection à cela, dis-moi comment tu fais objectivement pour calculer "sur le papier"(et à partir de quelle décimale?) une multiplication dont un des termes à un nombre infini de chiffres significatifs?

[b@z66]

Un nombre réel est la limite d'une suite de rationnels.

Deux réels sont donc égaux si les suites pour les construire ont même limite.

Là-dessus, j'aurais une petite objection. On part simplement du principe que leur différence tend vers 0 mais pas que cette différence est 0. Il est vrai que cela n'a plus beaucoup d'intérêt quand on approche du l'infiniment négligeable mais il n'en demeure pas moins que confondre la limite d'une suite et les termes de la suite elle-même est un "chouilla" exagéré.

[invite8fabde6c]

Si on veut raisonner de cette manière, je ne compare que des limites et non des termes.



Alors qu'on m'explique ce qui coince

[b@z66]

Je crois que le défaut de cette approche est justement, comme l'a fait remarquer un prédécesseur, de confondre terme de la série et limite de la série(qui ne sont jamais égal en l'occurrence). On démontre bien sûr que cette différence tend vers 0 mais, il n'en demeure pas moins, qu'elle n'est jamais 0. Le problème vient à mon sens de la "retenue" dans 0.333...*3=0.999... qui devrait se propager depuis les chiffres infiniment les moins significatifs et qui ne le fait pas tout simplement parce que cette opération est inconsciemment foireuse pour certains qui tentent d'appliquer une méthode de calcul uniquement valable pour des nombres avec un nombre de chiffres significatifs "fini". Si tu as une objection à cela, dis-moi comment tu fais objectivement pour calculer "sur le papier"(et à partir de quelle décimale?) une multiplication dont un des termes à un nombre infini de chiffres significatifs?

PS: pour aller plus loin, je dirais que le calcul 3*0.333...=0.999... est tout simplement foireux car certains, pour retomber sur leurs jambes, multiplient d'abord les nombres les plus significatifs avant de passer aux moins significatifs alors que c'est bien l'inverse que l'on apprend à l'école primaire!!! Ce mauvais comportement est induit tout simplement parce que l'on ne peut pas aller chercher les chiffres les moins significatifs "à l'infini" pour juste commencer le calcul.

[invite8fabde6c]

Pourtant, l'approche avec la notion d'ordre dense m'allait bien ^^'

[b@z66]

Si on veut raisonner de cette manière, je ne compare que des limites et non des termes.



Alors qu'on m'explique ce qui coince

Si tu raisonnes uniquement avec les limites elles-mêmes, tu as tout à fait raison. Le "problème"(qui en est justement un faux) trouve tout simplement son origine dans le fait que certains tentent d'introduire un questionnement en incorporant à la place les termes de la suite.

[invite8fabde6c]

Tout à fait d'accord ^^ Mais bon les autres démonstrations c'est pour épater un peu tout le monde. Et j'avoue que ressortir les séries, ça fait tout de suite un peu plus matheux