Intégrale d'une exponentielle

invite0c036a66 · 14/04/2011, 11h13

Bonjour à tous,

j'ai une petite question de math qui me bloque en physique. j'ai l'intégrale suivante: $\text{[math]}$ et j'aimerai la transformer en une somme . p est un entier naturel et $\text{[math]}$ est un relatif tout comme a.

Je sais bien sûr que $\text{[math]}$ et j'aimerai essayer d'obtenir ce type de somme avec juste des produits ou des quotients de fonction.

En fait mon $\text{[math]}$ n'en ai pas vraiment un, c'est un paramètre dont je peux fixer la valeur maximale dans un modèle informatique. Comme mon intégrale démarre à 1 et non pas à 0, faut-il que dans ma somme je démarre à zéro en prenant n+1 ou que je démarre à 1 en retranchant le terme correspondant à n=0 ? Comme j'ai une intégrale que je transforme en somme , je dois me retouver avec une somme d'une somme?

Je ne sais pas trop comment m'y prendre.

Merci d'avance si quelqu'un pouvait m'aider ça serait super sympa.

Ensuite, seconde question j'ai le même calcul mais avec les bornes -1 et +1 pour mon intégrale . Là ma somme , je ne sais pas trop quelles bornes prendre pour la somme encore une fois.

**breukin** · 14/04/2011, 13h08

Puisque $\text{[math]}$ est un entier naturel, vous pouvez trouver une primitive explicite de $\text{[math]}$ en intégrant par parties $\text{[math]}$ fois.

PS : Votre histoire de " $\text{[math]}$ est un relatif tout comme $\text{[math]}$ " n'a pas de sens : $\text{[math]}$ est la variable d'intégration. En outre, pour que l'intégrale avec borne supérieure infinie existe, il faut que $\text{[math]}$ (et même plus généralement $\text{[math]}$ ).

**breukin** · 14/04/2011, 13h22

Et donc on trouve comme primitive :
$\text{[math]}$

Et votre intégrale vaut :
$\text{[math]}$

invite0c036a66 · 14/04/2011, 14h06

Ok je voulais juste dire que ces deux grandeurs pouvaient prendre toutes les valeurs possibles dans R. Ok je ne savais pas pour la condition a>0 (il faut dire que les mathématiques purs sont un peu loin pour moi) . En tout cas, merci beaucoup pour ta réponse Breukin,ceci m'est d'une grande aide

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invite0c036a66 · 14/04/2011, 15h21

Par contre, je viens de m'apercevoir que j'ai fait une bétise en écrivant mon intégrale , mes bornes d'intégration sont de +1 à l' + $\text{[math]}$ . Désolé, du coup ça change le résultat. Sans vouloir passer pour un idiot, il ya quelque chose que je ne comprends pas c'est comment tu fais pour passer des bornes d'intégration entre +1 et + $\text{[math]}$ à une somme de n=0 à n=p .

Lorsqu'on fait un changement de variable dans une intégrale j'arrive à changer les bornes d'intégrations mais là il y a une borne infinie, donc je sèche. J'aimerai vraiment comprendre ton raisonnement parce qu'après je dois calculer la même intégrale entre -1 et + 1, et je pense que si j'arrive à comprendre pour la première intégrale après il me sera facile de le faire pour ma deuxième intégrale.

**breukin** · 14/04/2011, 15h39

Le raisonnement, c'est d'intégrer $\text{[math]}$ fois par parties.

La première fois, ça donne :
$\text{[math]}$

La seconde fois, ça donne :
$\text{[math]}$

Et ainsi de suite $\text{[math]}$ fois. Ce qui permet de comprendre ce qui se passe à chaque étape et d'en déduire une formule générique pour une primitive.

Il suffit de vérifier en dérivant la somme pour voir qu'on obtient bien $\text{[math]}$ , et que c'est donc bien une primitive (les termes se téléscopent, sauf le dernier, et le premier qui est nul).

Si la borne inférieure est $\text{[math]}$ , il suffit de remplacer dans mon résultat $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ est la primitive ci-dessus, l'intégrale entre $\text{[math]}$ et l'infini est $\text{[math]}$ .

invite0c036a66 · 14/04/2011, 16h16

Ok. Merci beaucoup pour l'explication très claire. J'ai tout compris

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